Ciao a tutti, ecco un bel problema di probabilità, Sns 2005:
Si consideri il sistema di equazioni in due incognite x, y:
$ ax + by = e $,
$ cx + dy = f $,
dove $ a,b,c,d,e,f \in Z^+ $.
a) Dimostrare che il sistema ammette una e una sola soluzione (non necessariamente intera) qualunque siano $ e, f $ se e solo se
$ ad - bc \neq 0 $.
b) Si supponga di scegliere a caso i coefficienti a,b,c,d,e,f tra gli interi relativi con valore assoluto minore o uguale a un intero positivo $ n $ prefissato. Dimostrare che la probabilità che il sistema abbia esattamente una soluzione (non necessariamente intera) è compresa tra $ \displaystyle 1 - \frac{1}{2n} $ e $ \displaystyle 1 - \frac{1}{3n^2} $.
Il punto a) è banale anche non conoscendo nozioni di algebra lineare, il punto b) non credo sia così immediato.
Aspetto le vostre osservazioni, soluzioni, idee…
Ultima modifica di Gauss_87 il 13 mar 2006, 21:56, modificato 4 volte in totale.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
A)Usando il metodo di Cramer, la soluzione è data da x=Dx/D e y=Dy/D, dove
D=a*d-c*b
Dx=a*f-c*e
Dy=b*f-d*e
Essenso D al denominatore, affinchè ci sia una soluzione ci vuole appunto a*d-c*b diverso da zero. Se mi chiedi di non usare il metodo di Cramer, si ottiene lo stesso risultato (ovvero a*d-c*b al denominatore) andando a calcolare un'incognita in funzione dell'altra nella prima equazione e sostituendo nella seconda.
C'era un vecchio topic con questo stesso problema...
Per quanto riguarda il punto b, un'idea:
il sistema indica due rette nel piano cartesiano. Può accadere che esse siano... parallele (ZERO soluzioni), coincidenti (INFINITE soluzioni) oppure incidenti in un punto che si ottiene dalla soluzione del sistema... chiaro che più aumenta quel numero $ n $, maggiori sono le possibilità di avere rette coincidenti o parallele [E QUINDI aventi stesse coeff. angolare e/o stessa intercetta...
Scrivendo il sistema così:
$ \displaystyle y=-\frac{a}{b}x+\frac{e}{b} $
$ \displaystyle y=-\frac{c}{d}x+\frac{f}{d} $
Abbiamo che, in pratica, affinché queste rette siano parallele, deve accadere che $ ad=bc $ e, perché siano coincidenti, deve anche essere, oltre a quella, che $ ed=bf $ (ma quest'ultima è superflua, penso...). Si potrebbe adesso, presi questi $ n $ interi e poste quelle condizioni, vedere le probabilità... purtroppo a questo punto lascio perché non ne so abbastanza per poter andare avanti.....
1 ° AGGIORNAMENTO: 15.03.2006 ore 15.40 CON CORREZIONI DEL CASO (nella dimostrazione che ho postato all'inizio ho trovato alcuni errori, anche se potrebbero essercene ancora)
2° AGGIORNAMENTO: 16.03.2006 ore 18.45 (corretto un piccolo dettaglio)
Il punto a) è argomento che viene affrontato anche nel programma scolastico, e di conseguenza non mi ci soffermerò.
Per il punto b), potrei aver sparato boiate a ripetizione, ma ci provo…
Il problema equivale a trovare la probabilità che, presi a,b,c,d a caso tra gli interi relativi con valore assoluto minore o uguale ad un intero positivo n prefissato, si abbia a*d-b*c=0, e una volta trovata questa probabilità sottrarla da 1 (in quanto la condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema abbia una ed una sola soluzione è che a*d-b*c≠0).
Dimostrare che:
1-1/2n <= P <= 1-1/3n^2
equivale infatti a dimostrare che:
1/3n^2 <= 1-P <= 1/2n
e trovare a,b,c,d tali che a*d-b*c=0 corrisponde a trovare 1-P.
Ogni coefficiente può assumere 2n-1 valori diversi (quanti sono gli interi compresi tra –n e n).
Facciamo diventare l’equazione:
a*d=b*c
Rispetto a c si ha, se b non vale 0 (si potrebbe farlo per qualsiasi variabile; vedremo a parte il caso in cui b=0 con tutte le conseguenze):
c = ad/b
È evidente che a e d possono essere scelti a piacere, mentre b è vincolato, dal momento che c deve essere intero e compreso tra –n e n.
Analizziamo i casi limite:
1° caso limite: a e d sono tali per cui b può assumere due soli valori affinché c sia intero (che possa assumere almeno due valori siamo sicuri: infatti se a=0 b può assumere ogni valore, mentre se a≠0 b può assumere almeno i valori a e -a); c è conseguentemente vincolato, e la probabilità è uguale a 2/(2n+1)^2.
2° caso limite: a e d sono tali per cui b può essere preso a piacere anch’esso. Distinguiamo due sottocasi:
- Almeno uno tra a e d è zero.
In questa evenienza, che ha probabilità 1-(2n/(2n+1))^2, posso prendere b a piacere (e di conseguenza c è nullo), ma se b=0 c non è vincolato, e può essere preso a piacere. Sommando le due probabilità e sottraendo quella del caso b=0, c=0 che viene contata due volte (P(A unione B) = P(A) + P(B) – (P(A intersezione B)), otteniamo che, se almeno uno tra a e d è zero, la probabilità è di 2/(2n+1) – 1/(2n+1)^2
- Né a né d valgono zero.
In questa evenienza, che ha probabilità (2n/(2n+1))^2, si ha al massimo una probabilità di 2n/(2n+1)^2, in quanto, posti a,b,d, c è vincolato dalla relazione c=ad/b, poiché abbiamo supposto a e d diversi da 0; inoltre b può essere scelto (nella migliore delle ipotesi) solamente in 2n modi, in quanto non può valere 0.
Con una serie di passaggi algebrici (che non vi sto a riportare visto che la dimostrazione è già lunga) si trova che questa probabilità è sempre minore di 1/2n.
Dal momento che i casi effettivi sono una via di mezzo tra i casi limite (può capitare che per determinati a e d b possa assumere solo due valori, che possa assumerli tutti, ma anche che possa assumerne alcuni sì e alcuni no), la probabilità è compresa tra quella dei due casi limite; si dovrebbe quindi avere:
2/(2n+1)^2 <= 1-P <= 1/2n
ma, poiché, per n >= 3
1/3n^2 <= 2/(2n+1)^2
si ha che:
1/3n^2 <= 1-P <= 1/2n
ergo:
1-1/2n <= P <= 1-1/3n^2
Per n >= 3 è stato quindi dimostrato, per n = 1 e n = 2 bisogna ancora dimostrare che 1/3n^2 <= 1-P.
Per n = 1 i casi possibili sono 81 (a,b,c,d possono valere -1, 0, 1); si può dimostrare che la probabilità è maggiore o uguale a 1/3 trovandone 27 favorevoli. Eccoli:
Per n = 2 i casi possibili sono 625 (a,b,c,d possono valere -2, -1, 0, 1, 2); si può dimostrare che la probabilità è maggiore o uguale a 1/12 trovandone 53 favorevoli. 27 favorevoli li abbiamo già trovati (quelli scritti prima vanno bene), ce ne restano da trovare altri 26. Sempre guardando quelli scritti prima, proviamo a scriverne di nuovi inserendo 2 dove c’è 1, inserendo -2 dove c’è -1, e lasciando 0 dove c’è 0. Tutti questi casi sono favorevoli e sono di nuovo 27, anche più di quanti ci erano necessari.
Ora la dimostrazione è completa: 1-1/2n <= P <= 1-1/3n^2 è verificato per ogni n intero positivo.
scusa ma quando dici: "la probabilità di questa evenienza è..." (+ di una volta) scrivi una quantità dimostrabile? se si, lo potresti far vedere come lo dimostri?
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
In questa evenienza, che ha probabilità (2n/(2n+1))^2
posso prendere $ a $ in $ 2n $ modi (tutti i valori tranne $ 0 $) e $ d $ in $ 2n $ modi (tutti i valori tranne $ 0 $). i casi favorevoli sono quindi $ (2n)² $, mentre i casi possibili sono $ (2n+1)² $
- Almeno uno tra a e d è zero.
In questa evenienza, che ha probabilità 1-(2n/(2n+1))^2
è semplicemente la probabilità complementare dell'evento precedente.
scusami eh, ma un'altra cosa non mi è chiara, te dici:
"
1° caso limite: a e d sono tali per cui b può assumere due soli valori affinché c sia intero (che possa assumere almeno due valori siamo sicuri: infatti se a=0 b può assumere ogni valore, mentre se a≠0 b può assumere almeno i valori a e -a); c è conseguentemente vincolato, e la probabilità è uguale a 2/(2n+1)^2
"
Potresti spiegarlo per bene come arrivi a dire: la probabilità è uguale a
$ \displaystyle \frac{2}{(2n+1)^2} $ ?
La risposta è analoga a prima? cioè: a e d li posso scegliere in maniera univoca, (simmetrica, quindi ci sono 2 coppie), i casi possibili sono (2n+1)^2.
E' così?
Grazie
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Gauss_87 ha scritto:scusami eh, ma un'altra cosa non mi è chiara, te dici:
"
1° caso limite: a e d sono tali per cui b può assumere due soli valori affinché c sia intero (che possa assumere almeno due valori siamo sicuri: infatti se a=0 b può assumere ogni valore, mentre se a≠0 b può assumere almeno i valori a e -a); c è conseguentemente vincolato, e la probabilità è uguale a 2/(2n+1)^2
"
Potresti spiegarlo per bene come arrivi a dire: la probabilità è uguale a
$ \displaystyle \frac{2}{(2n+1)^2} $ ?
La risposta è analoga a prima? cioè: a e d li posso scegliere in maniera univoca, (simmetrica, quindi ci sono 2 coppie), i casi possibili sono (2n+1)^2.
E' così?
Grazie
no. $ a $ e $ d $ noi li possiamo prendere a nostra discrezione, sono $ b $ e $ c $ ad essere vincolati. io ho detto che, nella peggiore delle ipotesi, ci sono solo 2 valori possibili per $ b $ tali per cui $ c $ rispetti i criteri del problema. se ci fossero sempre solo due valori possibili per $ b $ la probabilità sarebbe di 2/(2n+1)^2 ($ a $ e $ d $ scelti a discrezione, $ b $ scelto tra due possibilità, $ c $ vincolato di conseguenza). ma poichè questa è la peggiore delle ipotesi e ce ne sono di migliori, possiamo affermare che la probabilità è maggiore di 2/(2n+1)^2.
