Qualche calcolo aritmetico
Qualche calcolo aritmetico
Verificare che $ (1.74^3+1.63^2-8):1.37 $ dà un risultato decimale limitato (cioè non periodico). Per complicare un po' le cose, è vietato usare la calcolatrice o fare a mano i calcoli che le avremmo volentieri affidato; sono ammessi scritti di qualsiasi altro tipo e i calcoli ragionevolmente fattibili a mente.
Riporto alcuni calcoli che ho fatto senza difficoltà a mente (ho
senz'altro dedicato più tempo a scrivere questo messaggio), ma
è probabile che si possa seguire una via più semplice.
Naturalmente, i principali risultati algebrici ho dovuto scriverli.
Cerco di verificare che la frazione risultante in parentesi abbia il
numeratore divisibile per 137.
Passaggi preliminari:
$ \\ \to 1,74 = \frac{174}{100} \\ 137 = 140-3 \\ 140\cdot 2 = 280 \\ 280-6 = 274 = 2\cdot 137 \\ \frac{174}{100} = \frac{274-100}{100} = \frac{137\cdot2-100}{100} $
$ \\ \to 1,63 = \frac{163}{100} \\ 63-37 = 60-40+6 = 26 \\ \frac{163}{100} = \frac{137+26}{100} $
Quindi, sapendo che $ (a+b)^n=ak+b^n $ (per un certo $ k $):
$ \left(\frac{137\cdot2-100}{100}\right)^3+\left(\frac{137+26}{100}\right)^2-\frac{8\cdot 100^3}{100^3}=\frac{137\cdot t-100^3+26^2\cdot 100-8\cdot 100^3}{100^3} $
per un determinato $ t $, ossia:
$ \frac{137\cdot t-100^3+26^2\cdot 100-8\cdot 100^3}{100^3} = \frac{137\cdot t-100\cdot (9\cdot 100^2-26^2)}{100^3} $.
Ora, si vede immediatamente che:
$ (9\cdot 100^2-26^2) = (300-26)\cdot(300+26) = 274 \cdot 326 $
e sappiamo già che 274 è un multiplo di 137 (ved. passaggi
preliminari). Pertanto, al denominatore di:
$ \left[\left(\frac{174}{100}\right)^3+\left(\frac{163}{100}\right)^2-8\right]\cdot\left(\frac{100}{137}\right) = \left[\frac{137\cdot t-100\cdot 274 \cdot 326}{100^3}\right]\cdot \left(\frac{100}{137}\right) $.
rimane un multiplo di 10 e il numero decimale risultante non
è periodico.
(Se&o)
senz'altro dedicato più tempo a scrivere questo messaggio), ma
è probabile che si possa seguire una via più semplice.
Naturalmente, i principali risultati algebrici ho dovuto scriverli.
Cerco di verificare che la frazione risultante in parentesi abbia il
numeratore divisibile per 137.
Passaggi preliminari:
$ \\ \to 1,74 = \frac{174}{100} \\ 137 = 140-3 \\ 140\cdot 2 = 280 \\ 280-6 = 274 = 2\cdot 137 \\ \frac{174}{100} = \frac{274-100}{100} = \frac{137\cdot2-100}{100} $
$ \\ \to 1,63 = \frac{163}{100} \\ 63-37 = 60-40+6 = 26 \\ \frac{163}{100} = \frac{137+26}{100} $
Quindi, sapendo che $ (a+b)^n=ak+b^n $ (per un certo $ k $):
$ \left(\frac{137\cdot2-100}{100}\right)^3+\left(\frac{137+26}{100}\right)^2-\frac{8\cdot 100^3}{100^3}=\frac{137\cdot t-100^3+26^2\cdot 100-8\cdot 100^3}{100^3} $
per un determinato $ t $, ossia:
$ \frac{137\cdot t-100^3+26^2\cdot 100-8\cdot 100^3}{100^3} = \frac{137\cdot t-100\cdot (9\cdot 100^2-26^2)}{100^3} $.
Ora, si vede immediatamente che:
$ (9\cdot 100^2-26^2) = (300-26)\cdot(300+26) = 274 \cdot 326 $
e sappiamo già che 274 è un multiplo di 137 (ved. passaggi
preliminari). Pertanto, al denominatore di:
$ \left[\left(\frac{174}{100}\right)^3+\left(\frac{163}{100}\right)^2-8\right]\cdot\left(\frac{100}{137}\right) = \left[\frac{137\cdot t-100\cdot 274 \cdot 326}{100^3}\right]\cdot \left(\frac{100}{137}\right) $.
rimane un multiplo di 10 e il numero decimale risultante non
è periodico.
(Se&o)
Ultima modifica di Br1 il 03 mag 2006, 10:18, modificato 2 volte in totale.
Complimenti per aver trovato una soluzione, ma hai ragione: c'è una via molto più semplice (anche se concettualmente non molto lontana dalla tua). Provo a dare qualche indizio: il problema si risolve con un po' di spirito di osservazione, la matematica del primo anno delle medie superiori e un minimo di diffidenza verso il titolo. Se nessuno trova prima la soluzione, ogni qualche giorno darò altri aiuti.
Ops... avevo perso di vista questo topic.
Vediamo un po'.
Si riconosce senza difficoltà che $ 0,37+0,63=1 $, per cui si ha anche:
$ 1,63^2 = (3-1,37)^2 = 9-6\cdot 1,37+1,37^2. $
Si ottiene quindi:
$ 1,74^3+1,63^2-8 = 1,74^3+1-6\cdot 1,37+1,37^2 $
La somma $ 1,74^3+1^3 $ è divisibile per $ 1,74+1=2,74 $, dal momento
che essa equivale a $ (1,74+1)\cdot(1,74^2-1,74+1) $, e abbiamo visto
nella prima risposta che $ 274 = 2\cdot 137 $.
Di conseguenza, tutta l'espressione $ 1,74^3+1,63^2-8 $ è un multiplo
di $ 1,37 $ e il quoziente, essendo il risultato di prodotti, somme e differenze
di numeri decimali limitati, deve avere pertanto la stessa forma.
Bruno
Vediamo un po'.
Si riconosce senza difficoltà che $ 0,37+0,63=1 $, per cui si ha anche:
$ 1,63^2 = (3-1,37)^2 = 9-6\cdot 1,37+1,37^2. $
Si ottiene quindi:
$ 1,74^3+1,63^2-8 = 1,74^3+1-6\cdot 1,37+1,37^2 $
La somma $ 1,74^3+1^3 $ è divisibile per $ 1,74+1=2,74 $, dal momento
che essa equivale a $ (1,74+1)\cdot(1,74^2-1,74+1) $, e abbiamo visto
nella prima risposta che $ 274 = 2\cdot 137 $.
Di conseguenza, tutta l'espressione $ 1,74^3+1,63^2-8 $ è un multiplo
di $ 1,37 $ e il quoziente, essendo il risultato di prodotti, somme e differenze
di numeri decimali limitati, deve avere pertanto la stessa forma.
Bruno
Perfetto! Io l'avevo fatto con l'algebra: posto x=0,37, il divisore è x+1 e il dividendo diventa $ (2x+1)^3+(2-x)^2-8= \dots $; la divisione viene poi fatta con la regola di Ruffini e dà resto 0, garantendo l'assenza di periodo.
Con calcoli iniziali lievemente più complessi, ma sempre fattibili a mente, si può anche porre a=1,37: il dividendo diventa $ (2a-1)^3+(3-a)^2-8=\ldots $ per una facile divisione finale
Con calcoli iniziali lievemente più complessi, ma sempre fattibili a mente, si può anche porre a=1,37: il dividendo diventa $ (2a-1)^3+(3-a)^2-8=\ldots $ per una facile divisione finale