Questo esercizio me l'hanno dato alle gare a squadre di matematiche,anche se a dire la verità è più fisica che matematica.Vale 70 punti.Non avventatevi subito con una soluzione perchè non è così semplice come sembra...
Ad una gara di speedway hanno partecipato 2 moto,le quali hanno dovuto percorrere 199 giri di una pista ghiacciata. La prima moto ha tenuto per tutta la gara un'andatura costante di $ 100km/h $. La seconda moto ha avuto un'andatura altalenante: ha infatti percorso il primo giro alla velocità costante di $ 101 km/h $, il secondo giro alla velocità costante di $ 99 km/h $, e così via percorrendo sempre i giri pari alla velocità di $ 99km/h $ e i giri dispari alla velocità di $ 101km/h $.All'inizio le due moto sono partite appaiate dalla linea di partenza.
Determinare chi ha vinto e quanti sorpassi ci sono stati nel corso della gara(senza contare quello in partenza).
Il sorpasso.
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Sia A quella a velocità costante, B l'altra. l è la lunghezza del tragitto. tralascio le u.d.m.
Per completare il tragitto, A impiega un tempo
$ t_{A}=\frac{199l}{100} $
B impiega un tempo
$ t_{B}=\frac{100l}{101}+\frac{99l}{99}>t_{a} $
quindi vince A.
La velocità media con cui B percorre n giri, se n è pari, risulta
v_b = 9999/100, minore di 100
per cui dopo un numero pari di giri A è in vantaggio.
dopo un numero dispari di giri, la velocità media di B risulta
$ v_{B}=\frac{n}{\frac{K+1}{101}+\frac{K}{99}} $
con $ K=[\frac{n}{2}] $, dunque $ n=2K+1 $
risolvendo in K la disequazione
$ v_{B}>100 $
la trovate valida per K < 99/2, ovvero n-1 < 99 ovvero n<100.
Nei primi 100 giri A viene superato ad ogni giro dispari (il primo però non si conta) quindi
B supera A 49 volte
A supera B 50 volte.
Dopodichè A resta in testa
Per completare il tragitto, A impiega un tempo
$ t_{A}=\frac{199l}{100} $
B impiega un tempo
$ t_{B}=\frac{100l}{101}+\frac{99l}{99}>t_{a} $
quindi vince A.
La velocità media con cui B percorre n giri, se n è pari, risulta
v_b = 9999/100, minore di 100
per cui dopo un numero pari di giri A è in vantaggio.
dopo un numero dispari di giri, la velocità media di B risulta
$ v_{B}=\frac{n}{\frac{K+1}{101}+\frac{K}{99}} $
con $ K=[\frac{n}{2}] $, dunque $ n=2K+1 $
risolvendo in K la disequazione
$ v_{B}>100 $
la trovate valida per K < 99/2, ovvero n-1 < 99 ovvero n<100.
Nei primi 100 giri A viene superato ad ogni giro dispari (il primo però non si conta) quindi
B supera A 49 volte
A supera B 50 volte.
Dopodichè A resta in testa
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