Anyway la soluzione mi sembra ancora non funzionare...Nuovo sito, nuove disuguaglianze
Bueno!
Allora per la disuguaglianza a sinistra possiamo procedere in questo modo:
$ yz+zx+xy=xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) $ ora per media aritmetica e media armonica abbiamo $ \frac{9}{x+y+z}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) $ da cui sostituendo abbiamo la tesi(abbiamo ottenuto una disuguaglianza molto più forte).
Per la parte di destra riscriviamo la disuguaglianza come:
$ (1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq\frac{1}{27} $ usando la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica abbiamo $ (1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq\frac{(3-2(x+y+z))^3}{27} $ e utilizzando l'ipotesi si conclude.
Ciao
Boll rilanci tu? o propongo io qualcosa?
Allora per la disuguaglianza a sinistra possiamo procedere in questo modo:
$ yz+zx+xy=xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) $ ora per media aritmetica e media armonica abbiamo $ \frac{9}{x+y+z}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) $ da cui sostituendo abbiamo la tesi(abbiamo ottenuto una disuguaglianza molto più forte).
Per la parte di destra riscriviamo la disuguaglianza come:
$ (1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq\frac{1}{27} $ usando la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica abbiamo $ (1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq\frac{(3-2(x+y+z))^3}{27} $ e utilizzando l'ipotesi si conclude.
Ciao
Boll rilanci tu? o propongo io qualcosa?
P. Andrea
Uh già non negativi 
Cmq se uno dei tre annulla (supponiamo la z) la nostra disuguaglianza diviene:
$ xy\leq\frac{7}{27} $ con $ x+y=1 $ e si conclude facilmente applicando MG e MA.
Ancora meglio se sono due i valori ad annullarsi in questo caso diventa $ 0\leq\frac{7}{27} $ che..beh mi sembra vera 
Ciao
Dai rilancia Elia
Cmq se uno dei tre annulla (supponiamo la z) la nostra disuguaglianza diviene:
$ xy\leq\frac{7}{27} $ con $ x+y=1 $ e si conclude facilmente applicando MG e MA.
Ancora meglio se sono due i valori ad annullarsi in questo caso diventa $ 0\leq\frac{7}{27} $ che..beh mi sembra vera
Ciao
Dai rilancia Elia
P. Andrea
Ok, visto che nessuno rilancia a parte moi...
Provare che, per $ w,x,y,z\in \mathbb{R}^{+} $, vale che
$ \displaystyle\frac{12}{w + x + y + z} $$ \displaystyle\leq\frac{1}{w + x} +\frac{1}{w + y} +\frac{1}{w + z} +\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z} +\frac{1}{y + z} $$ \displaystyle\leq\frac{3}{4}\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) $
Provare che, per $ w,x,y,z\in \mathbb{R}^{+} $, vale che
$ \displaystyle\frac{12}{w + x + y + z} $$ \displaystyle\leq\frac{1}{w + x} +\frac{1}{w + y} +\frac{1}{w + z} +\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z} +\frac{1}{y + z} $$ \displaystyle\leq\frac{3}{4}\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) $
Allora...
La disuguaglianza a sinistra si risolve facilmente con la disuguaglianza fra media aritmetica e armonica.
Quella a destra anche, basta infatti notare che:
$ \frac{1}{w+x}\leq\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{w}}{4} $ e questa disuguaglianza è vera per ogni termine della somma, si conclude sommando il tutto.
Scusate se non scrivo tutto ma l'ora è tarda e ci metterei una vita, comunque se c'è qualcosa di non chiaro scrivete pure che cercherò di chiarire.
Ciao
La disuguaglianza a sinistra si risolve facilmente con la disuguaglianza fra media aritmetica e armonica.
Quella a destra anche, basta infatti notare che:
$ \frac{1}{w+x}\leq\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{w}}{4} $ e questa disuguaglianza è vera per ogni termine della somma, si conclude sommando il tutto.
Scusate se non scrivo tutto ma l'ora è tarda e ci metterei una vita, comunque se c'è qualcosa di non chiaro scrivete pure che cercherò di chiarire.
Ciao
P. Andrea
Ok, ma postatene anche un pò voi, questa è veramente bastarda, spero vi terà impegnati per un pò...
Provare che per i soliti, carissimi $ a,b,c\in \mathbb{R}^{+} $ vale che
$ \displaystyle \left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right) \geq \left(\frac43\right)^3 \sqrt{abc}\left(ab+bc+ca\right) $
Provare che per i soliti, carissimi $ a,b,c\in \mathbb{R}^{+} $ vale che
$ \displaystyle \left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right) \geq \left(\frac43\right)^3 \sqrt{abc}\left(ab+bc+ca\right) $
La diseguaglianza appare (per cosi' dire) sovrabbondante e questo
semplifica la dimostrazione.
Premetto che ,per a,b,c>0, si ha:
$ 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq (ab+bc+ca)^2\\ $
Abbiamo ora:
$ (a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+\\+9(a^2+b^2+c^2)+(a^2b^2c^2+27) \geq (ab+bc+ca)^2+6(abc) \sqrt3 \geq\\ \geq (ab+bc+ca)^2+4(abc) \geq\\ \geq 4(ab+bc+ca) \sqrt(abc) \geq (\frac{4}{3})^3(ab+bc+ca)\sqrt(abc) $
semplifica la dimostrazione.
Premetto che ,per a,b,c>0, si ha:
$ 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq (ab+bc+ca)^2\\ $
Abbiamo ora:
$ (a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+\\+9(a^2+b^2+c^2)+(a^2b^2c^2+27) \geq (ab+bc+ca)^2+6(abc) \sqrt3 \geq\\ \geq (ab+bc+ca)^2+4(abc) \geq\\ \geq 4(ab+bc+ca) \sqrt(abc) \geq (\frac{4}{3})^3(ab+bc+ca)\sqrt(abc) $
-
enomis_costa88
- Messaggi: 537
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Brescia
Sempre frugando tra i vecchi problemi..
$ Q=xy+zx+zy $
$ P=xyz $
1) Per Schur: $ 6(S^3) \ge 6(4QS-9P) $
Per Mac Laurin: $ 1= S^3= S^2 \ge3Q = 3QS $
Sommando le due disuguaglianze ottengo:
$ 7S^3=7 \ge 27QS-54P=27Q-54P $.
dividendo per 27 ottengo:
$ \frac{7}{27}\ge Q-2P $
2) Inoltre per Newton: $ Q^2\ge 3PS $ e ottengo:
$ \frac{1}{3}\ge Q \ge Q^2 \ge 3PS=3P\ge 2P $ ovvero:
$ Q-2P \ge 0 $
Considerando la 1 e la 2 ottengo:
$ \frac{7}{27}\ge Q-2P \ge 0 $ che è la tesi.
Sia $ S=x+y+z =1 $Boll ha scritto:Prove that $ \displaystyle 0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27} $, where $ x,y,z $ are non-negative real numbers satisfying $ x+y+z=1 $
$ Q=xy+zx+zy $
$ P=xyz $
1) Per Schur: $ 6(S^3) \ge 6(4QS-9P) $
Per Mac Laurin: $ 1= S^3= S^2 \ge3Q = 3QS $
Sommando le due disuguaglianze ottengo:
$ 7S^3=7 \ge 27QS-54P=27Q-54P $.
dividendo per 27 ottengo:
$ \frac{7}{27}\ge Q-2P $
2) Inoltre per Newton: $ Q^2\ge 3PS $ e ottengo:
$ \frac{1}{3}\ge Q \ge Q^2 \ge 3PS=3P\ge 2P $ ovvero:
$ Q-2P \ge 0 $
Considerando la 1 e la 2 ottengo:
$ \frac{7}{27}\ge Q-2P \ge 0 $ che è la tesi.
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
Dai la faccio anch'io, credo sia abbastanza triviale (anzi, lo è, se mi è venuta in cinque minuti alle 8 del mattino)Boll ha scritto:Ok, visto che nessuno rilancia a parte moi...
Provare che, per $ w,x,y,z\in \mathbb{R}^{+} $, vale che
$ $ \frac{12}{w + x + y + z}$ $ $ $\leq\frac{1}{w + x} +\frac{1}{w + y} +\frac{1}{w + z} +\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + z} +\frac{1}{y + z}$ $ $ $\leq\frac{3}{4}\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$ $
1) La dis. di sinistra
Per CS abbiamo che:
$ $ \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z} $$ $[(w+x)+(w+y)+(w+z)+(x+y)+(x+z)+(y+z)] $$ $ \geq {(1+1+1+1+1+1)}^2 = 36 $
Da cui segue che:
$ $ \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z} $$ $ [3(w+x+y+z)] \geq 36 $
Che implica:
$ $ \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z} $$ $ \geq \frac{12}{w+x+y+z} $
SOLUZIONE ALTERNATIVA:
La funzione $ $f(x)=\frac{1}{x}$ $ è convessa nei reali positivi. Per Jensen abbiamo che:
$ $\frac{1}{6}\left( \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z} \right)$ $ $ $\geq \frac{1}{\frac{1}{6}\left[(w+x) + (w+y) + (w+z) + (x+y) + (x+z)+(y+z) \right]} $ $
Che implica:
$ $\frac{1}{6}\left( \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z} \right)$ $ $ $\geq \frac{2}{w+x+y+z} $ $
Da cui:
$ $\frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z}$ $ $ $\geq \frac{12}{w+x+y+z} $ $
2) La dis. di destra
Per $ $\mathcal{AM} \geq \mathcal{HM}$ $ abbiamo che:
$ $ \frac{\frac{1}{w}+\frac{1}{x}}{2} \geq \frac{2}{w+x} $ $
Applichiamo tale disuguaglianza a tutte le coppie $ $\left(\frac{1}{w}, \frac{1}{x} \right)$ $, $ $\left(\frac{1}{w}, \frac{1}{y} \right)$ $, $ $\left(\frac{1}{w}, \frac{1}{z} \right)$ $, $ $\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)$ $, $ $\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{z} \right)$ $, $ $\left(\frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right)$ $ e sommiamo, ottenendo:
$ $ \frac{\frac{1}{w}+\frac{1}{x}}{2} + \frac{\frac{1}{w}+\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{1}{w}+\frac{1}{z}}{2} + \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}{2} + \frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{2} $ $ $ $ \geq \frac{2}{w+x} + \frac{2}{w+y} + \frac{2}{w+z} + \frac{2}{x+y} + \frac{2}{x+z} + \frac{2}{y+z} $ $
Da cui segue che:
$ $\frac{3}{4}\left( \frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)$ $ $ $ \geq \frac{1}{w+x} + \frac{1}{w+y} + \frac{1}{w+z} + \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} + \frac{1}{y+z}$ $
Che lunga però a scriverla...
...