Teoria dei Numeri @ SNS
Teoria dei Numeri @ SNS
Un problema di ammissione del 2002 credo chiedeva:
Dire se esiste un numero multiplo di 2002 la cui somma delle cifre faccia proprio 2002.
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Ora sul sito della didattica della SNS ci sta un metodo abbastanza semplice per costruire un numero sì fatto....
La mia domanda è:
è sufficiente ricorrere al TEOREMA CINESE DEL RESTO per dimostrare che esiste un numero sì fatto?
Cioè basta che il numero $ x $ soddisfi contemporaneamente:
$ x \equiv 0 $ (mod $ 2002 $)
$ x \equiv 2002 $ (mod $ 9 $)
in quanto la somma delle cifre di un numero è la sua congruenza modulo 9.
Adesso il TH C del R ci (o almeno dovrebbe!) assicura che 2002 e 9 coprimi implicano l'esistenza di una soluzione.
E' giusto ragionare (e concludere la dimostrazione!) così???
Dire se esiste un numero multiplo di 2002 la cui somma delle cifre faccia proprio 2002.
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Ora sul sito della didattica della SNS ci sta un metodo abbastanza semplice per costruire un numero sì fatto....
La mia domanda è:
è sufficiente ricorrere al TEOREMA CINESE DEL RESTO per dimostrare che esiste un numero sì fatto?
Cioè basta che il numero $ x $ soddisfi contemporaneamente:
$ x \equiv 0 $ (mod $ 2002 $)
$ x \equiv 2002 $ (mod $ 9 $)
in quanto la somma delle cifre di un numero è la sua congruenza modulo 9.
Adesso il TH C del R ci (o almeno dovrebbe!) assicura che 2002 e 9 coprimi implicano l'esistenza di una soluzione.
E' giusto ragionare (e concludere la dimostrazione!) così???
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Me lo ricordo bene quel problema... lo risolvetti grazie all'aiuto di un seminarista allo stage di S. Miniato, a sett. scorso...
senza dimostrare niente... tu prendi il numero $ $10010 = 2002 \cdot 5$ $... non ti resta che prendere quello come un "modulo" (non nel senso di "modulo" come si intende nelle congurenze, eh!) e "replicarlo" 1001 volte... la somma delle cifre del "modulo" è pari a $ $2$ $, è dunque chiaro che la somma delle cifre del numerone ottenuto è proprio 2002...
@Gauss87
Comunque penso che un ragionamento come il tuo possa andare più che bene... anche se non conosco (ancora) il famoso Teorema Cinese...
senza dimostrare niente... tu prendi il numero $ $10010 = 2002 \cdot 5$ $... non ti resta che prendere quello come un "modulo" (non nel senso di "modulo" come si intende nelle congurenze, eh!) e "replicarlo" 1001 volte... la somma delle cifre del "modulo" è pari a $ $2$ $, è dunque chiaro che la somma delle cifre del numerone ottenuto è proprio 2002...
@Gauss87
Comunque penso che un ragionamento come il tuo possa andare più che bene... anche se non conosco (ancora) il famoso Teorema Cinese...
Ultima modifica di Ani-sama il 16 giu 2006, 17:57, modificato 1 volta in totale.
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non, nn ci siamo capiti... nessuno!edriv ha scritto:Comunque il ragionamento di Gauss_87 è sbagliato...
anche $ 4 \equiv 2002 \pmod 9 $, ma 4 non è certamente multiplo di 2002, se ho ben capito...
Ho detto che costruire un multiplo di 2002 con 2002 cifre è ben chiaro a tutti grazie al trucchetto ricordato su qst topic e ben spiegato su un pdf che sta sul sito della didattica SNS.
Riguardo l'obiezione di edriv: 4 sarà congruo a 2002 modulo 9 (spero hai fatto bene i conti perchè io nn ho voglia ) ma cmq non è congruo a 0 modulo 2002!
Avevo scritto che dovrei trovare una $ x \in \mathbb{N} $ che soddisfa ENTRAMBE e dico ENTRAMBE le due congruenze!
Quindi ripeto la mia domanda:
basta il Teorema Cinese del Resto applicato a quelle 2 congruenze messe a sistema per dimostrare che esiste un numero sì fatto??? ???
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Il numero per come l'hai fatto te soddisfa le ipotesi del problema ma nn certo perchè un qualsivoglia numero che termini in quel modo risulta essere multiplo di 2002Ani-sama ha scritto:È chiaro che qualsivoglia numero che termini in quel modo risulta essere multiplo di 2002...
prendi 310010: non è multiplo di 2002
Il numero fatto in quel modo funziona perchè: $ 10010 = 2002 \cdot 5 $ e
$ 10010 + 10^5 \cdot 10010 + 10^{10} \cdot 10010 + ... + 10^{5n} \cdot 10010 $, è multiplo di 2002 , dove $ n \in \mathbb{Z}^+ $
Adesso concentriamoci sulla mia domanda e sul TEOREMA CINESE del RESTO
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Gaussz: rimango ancora dell'opinione che quel modo sia sbagliato.
Infatti, cosa intendi dicendo che:
E' corretto dire che "la somma delle cifre di un numero è congrua al numero stesso modulo 9", ma questo non ti permette di risolvere il problema...
Poi: $ 4 \equiv 2002 \pmod 9 $... non serve nessu conto per farlo, l'hai detto tu che basta vedere la somma delle sue cifre!
E infine, senza pensarci tanto mi viene da dire:
$ 2002 \equiv 0 \pmod {2002} $
$ 2002 \equiv 2002 \pmod 9 $
Ma 2002 non è soluzione...
Infatti, cosa intendi dicendo che:
$ 19 \equiv 1 \pmod 9 $, ma la somma delle sue cifre è 10...in quanto la somma delle cifre di un numero è la sua congruenza modulo 9.
E' corretto dire che "la somma delle cifre di un numero è congrua al numero stesso modulo 9", ma questo non ti permette di risolvere il problema...
Poi: $ 4 \equiv 2002 \pmod 9 $... non serve nessu conto per farlo, l'hai detto tu che basta vedere la somma delle sue cifre!
E infine, senza pensarci tanto mi viene da dire:
$ 2002 \equiv 0 \pmod {2002} $
$ 2002 \equiv 2002 \pmod 9 $
Ma 2002 non è soluzione...
Mi sa che edriv ha visto giusto...
Il testo dice: " la somma delle cifre è 2002".
La congruenza è necessaria ma non sufficiente. Se la somma delle cifre è 2002 allora è vera, ma se è vera non è detto che la somma delle cifre sia proprio 2002. In pratica sai solo che il numero che devi trovare, se esiste, è della forma 2002 + 9k, ma non è detto che esista.
Facile vedere che 20020 è 2002 x 10 ma è anche 2002 + 9 x 2002. In realtà basta prendere 2002 moltiplicato per una qualunque potenza di 10...
Ciao
Il testo dice: " la somma delle cifre è 2002".
La congruenza è necessaria ma non sufficiente. Se la somma delle cifre è 2002 allora è vera, ma se è vera non è detto che la somma delle cifre sia proprio 2002. In pratica sai solo che il numero che devi trovare, se esiste, è della forma 2002 + 9k, ma non è detto che esista.
Facile vedere che 20020 è 2002 x 10 ma è anche 2002 + 9 x 2002. In realtà basta prendere 2002 moltiplicato per una qualunque potenza di 10...
Ciao
Si, credo sia chiaro a tutti che il sistema di quelle due congruenze abbia infinite soluzioni nei naturali e che non tutte queste infinite siano soluzione del problema di partenza, però tutte appartengono ad un'unica classe di resti modulo 9 e 2002 quindi la mia domanda di partenza era:edriv ha scritto:Gaussz: rimango ancora dell'opinione che quel modo sia sbagliato.
Infatti, cosa intendi dicendo che:$ 19 \equiv 1 \pmod 9 $, ma la somma delle sue cifre è 10...in quanto la somma delle cifre di un numero è la sua congruenza modulo 9.
E' corretto dire che "la somma delle cifre di un numero è congrua al numero stesso modulo 9", ma questo non ti permette di risolvere il problema...
Poi: $ 4 \equiv 2002 \pmod 9 $... non serve nessu conto per farlo, l'hai detto tu che basta vedere la somma delle sue cifre!
E infine, senza pensarci tanto mi viene da dire:
$ 2002 \equiv 0 \pmod {2002} $
$ 2002 \equiv 2002 \pmod 9 $
Ma 2002 non è soluzione...
necessariamente troveremo tra quelle infinite soluzioni un numero che soddisfi la proprietà del testo?
Insomma credete proprio che non basti esibire il sistema di 2 congruenze per dimostrare l'esistenza! E allora è meglio esibire il numero!
Bye
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
No, non basta, edriv ha perfettamente ragione. Un numero, ad esempio, può avere somma cifre 18,27,36,45 e la sua congruenza modulo 9 sarà sempre 0.
Anyway, eccovi un giovane Boll che si cimenta sullo stesso problema (ah, bei tempi!)
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Anyway, eccovi un giovane Boll che si cimenta sullo stesso problema (ah, bei tempi!)
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"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)