ab+bc+ca=1/3

[Simo_the_wolf]

1) Siano $ a,b,c \in R^+ $ tali che $ ab+bc+ca = \frac 13 $

Dimostrare che:

$ \displaystyle \frac a{a^2-bc+1} + \frac b{b^2-ca+1} + \frac c{c^2-ab+1} \geq \frac 1{a+b+c} $

2) Siano $ a,b,c \in R^+ $ tali che $ ab+bc+ca = \frac 14 $

Dimostrare che:

$ \displaystyle \frac {a^2+2bc}{a^2-bc+1} + \frac {b^2+2ca}{b^2-ca+1} + \frac {c^2+2ab}{c^2-ab+1} \geq $ $ \displaystyle \frac 1{1+9\frac{abc}{(a+b+c)^3}} $ $ \displaystyle \geq \frac 34 $

edit: scusate la typo...

[darkcrystal]

Con la mia solita fortuna ho iniziato dall'ultima... e non riesco a capire... il denominatore della frazione è 1+9abc/(a+b+c)^3... ed è quindi più grande di 1, perciò come fa la frazione a essere maggiore di 1? (ancora peggio, di 4/3?)
Scusate se ho detto una sciocchezza... ma questa proprio non la capisco!

[hydro]

Dopo aver visto le fantastiche lezioni del Winter Camp sono ansioso di provare il metodo di risoluzione con CS che ho appreso...

1)

Sostituiamo a denominatore delle 3 frazioni il vincolo, ottenendo

$ \displaystyle \sum_{cyc}\frac{a}{a(a+b+c)+\frac{2}{3}} \ge \frac{1}{a+b+c} $

e ora il mitico Cauchy!

$ \displaystyle (a+b+c)^2 = \left ( \sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a(a+b+c)+\frac{2}{3}}} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a(a+b+c)+\frac{2}{3}} \right )^2 $ $ \displaystyle \le LHS \cdot \left ( \sum_{cyc} a^2(a+b+c)+ \frac{2}{3}a \right ) $

Da cui $ \displaystyle LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+\frac{2}{3}(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3}} $

Ora poniamo $ \displaystyle RHS \geq \frac{1}{a+b+c} \implies (a+b+c)^2 \geq a^2+b^2+c^2+\frac{2}{3} $, che è vera svolgendo il quadrato e sostituendo il vincolo.

[enomis_costa88]

Provo la seconda.

Siano al solito $ S=a+b+c $ e $ P=abc $

1) $ \displaystyle \sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1) $ $ \displaystyle = \sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2+3bc+4ac+4ab) $ $ \displaystyle =\frac{1}{2}\sum_{sym}a^4+21a^2bc+8a^3b+6b^2c^2 $ $ \displaystyle = (a+b+c)^4+9abc(a+b+c)=S^4+9PS $

Per C.S.
$ \displaystyle S^4 = (\sum_{cyc}(a^2+2bc))^2 $ $ \displaystyle = (\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+2bc}{a^2-bc+1}}\sqrt{\frac{(a^2-bc+1)(a^2+2bc)^2}{a^2+2bc}})^2 $ $ \displaystyle \leq LHS (\sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1)) $

Da cui:
$ \displaystyle LHS \ge \frac{S^4}{(\sum_{cyc}(a^2+2bc)(a^2-bc+1))} $= $ \displaystyle \frac{S^4}{S(S^3+9P)}=\frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}} $

2) Inoltre per AM-GM:
$ \displaystyle (\frac{S}{3})^3\ge P $
$ \displaystyle S^3\ge 27 P $
$ \displaystyle \frac{1}{4}S^3\ge\frac{27}{4}P $
$ \displaystyle S^3\ge \frac{3}{4}(S^3+9P) $
$ \displaystyle \frac{S^3}{S^3+9P} $ $ \displaystyle =\frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}}\ge \frac{3}{4} $

da 1 e 2 ottengo:

$ \displaystyle LHS \ge $ $ \displaystyle \frac{1}{1+9\frac{P}{S^3}} $ $ \displaystyle \ge \frac{3}{4} $
che è la tesi.