Disuaguaglianza facile (bisogna pure iniziare con qualcosa!)

[darkcrystal]

Siano a,b,c reali positivi >1
Provare che allora si ha
$ \displaystyle \frac{a^2-1}{b-1}+\frac{b^2-1}{c-1}+\frac{c^2-1}{a-1} \geq 3\left((abc)^{\frac{1}{3}}+1\right) $

Ciao!

[edriv]

La mia sveglia del mattino : )
Riordinamento: in qualsiasi permutazione delle variabili, se ordino le lettere per grandezza, i loro inversi sono ordinati nel verso opposto.
Chiaramente anche a^2+1 > b^2+1 implica a > b implica 1/a < 1/b implica 1/(a-1) < 1/(b-1)

Allora, per riordinamento, (somma ciclica di) (a^2-1)/(b-1) >= (somma ciclica di) (a^2-1)/(a-1) = a+1+b+1+c+1
A questo punto basta a+b+c >= 3(abc)^(1/3) per AM-GM.

p.s. ---> fonte?

[darkcrystal]

Fonte --> Miei deliri delle 11 della sera... sapevo che era facile ma ho pensato che a qualcuno potesse interessare