Espansione Libera @ SNS

[Gauss_87]

Propongo il SNS 2004 - 5 di Termodinamica:

Nel 1997 nella stazione spaziale Mir si produsse un piccolo foro con l'esterno a causa del quale la pressione interna passò dal valore normale $ p_0 $ di $ 750 mmHg $ a $ p_1 $ di $ 675 mmHg $ (millimetri di Mercurio) in un intervallo di tempo $ \Delta t $ di $ 8 $ minuti.

a) Si mostri che durante tale periodo la pressione interna diminuì con legge esponenziale.

b) Si stimi l'area del foro sapendo che il volume pressurizzato della stazione era $ V_0 $ di $ 400 m^3 $ e che la temperatura era $ T_0 $ di $ 24 $ Celsius.

[Gauss_87]

Aiutino banale: un'espansione libera avviene a temperatura costante!

[tuvok]

C'è come dato anche la massa molare del gas contenuto nella stazione?

[Gauss_87]

nn esplicitamente ma credo che si possa utilizzare la famosa massa molare dell'aria $ A=28 $ g/mol

[Tamaladissa]

Risposta al questito a):

Il gradiente di pressione tra interno e esterno è ragionevole supporlo proporzionale alla differenza di pressione tra interno e esterno ad un generico tempo t, quindi:

dP/dt = k(Pext - Pint(t)) = -kPint(t).
La soluzione dell'eq differenziale è un esponenziale: P(t) = c*e^(-kt) dove k e c sono costanti. Inserendo i dati iniziali, sapendo che dopo 8 minuti (480s) la pressione è passata da 0,98685 atm a 0,88816 atm e ponendo per comodità k=1/T, si ottiene:

P(t) = 0.98685*e^(-t/4555,54)

[Gauss_87]

Risposta al questito a):

Il gradiente di pressione tra interno e esterno è ragionevole supporlo proporzionale alla differenza di pressione tra interno e esterno ad un generico tempo t,

Supporre $ \neq $ Dimostrare

[nnsoxke]

Io ho utilizzato l'equazione della conservazione della massa(prendendo come volume di controllo l'interno della navetta), l'eq. di bernoulli(prendendo una linea di flusso che parte dall'interno della navetta(p=pressione interna,v=0) ed arriva all'uscita del foro(p=0), l'eq. di stato dei gas perfetti e posto T=cost... l'utilizzo di bernoulli (in teoria può essere usato solo per fluidi incomprimibili o che si comportano come tali, per flussi stazionari e non viscosi) me lo sono spiegato in questo modo: visto che la densità e la velocità non dovrebbero variare molto rapidamente la loro derivata rispetto al tempo può essere trascurata quindi si può trascurare la non stazionarietà del flusso , l'aria può essere considerata come non viscosa e ,dato che pressione e temperatura si mantengono costanti lungo il foro, possiamo dire che la densità all'uscita del foro è uguale a quella all'interno... subito dopo l'uscita dal foro si ha una rapida caduta di pressione fino a 0 ma la densità ho supposto che nel primo tratto rimanga circa uguale (fluido incomprimibile)... Mi sembra un po' arrangiata questa soluzione, soprattutto nella parte finale ho dei dubbi, voi che ne dite ? Comq facendo i calcoli mi torna che p ha un andamento esponenziale e v (velocità del fluido nel foro) rimane costante nel tempo

[Gauss_87]

Non penso si debba usare Bernuolli nella dimostrazione... del termine $ \rho g h $ che ne facciamo? in base a dove sta il foro ciascun elemento di aria subisce la pressione di quelli sovrastanti... lasciamo stare Bernoulli!

Prima di proporre il topic io avevo pensato:

considero l'aria un gas perfetto e differenzio $ pV=nRT $ che ha $ V $ costante ad anche $ T $ costante perchè è un'espansione libera:

$ \displaystyle \frac{dp}{dn} = \frac{RT}{V} $ (1)

Ora ogni intervallo di tempo $ dt $ esce un quantità di moli $ dn $ proporzionale alla forza con cui l'aria viene spinta fuori, cioè proporzionale alla pressione residua dato che la sezione del foro è costante; in formule:

$ \displaystyle \frac{dn}{dt} = \lambda \cdot p $ (2)

con $ \displaystyle \lambda \in \mathbb{R}^- $ una costante.

Mettendo insieme (1) e (2):

$ \displaystyle \int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p} = \int_{0}^{t} \lambda \cdot \frac{RT}{V} \cdot dt $

da cui

$ \displaystyle p(t) = p_0 \cdot e^{\frac{\lambda R T}{V} \cdot t} $.

Per il punto (b), imponendo $ p(0) = p_{atm} $, $ p(\Delta t) = p_1 $, volume e temperatura del testo si ricava $ \lambda $

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Edit: senza \displaystyle le formule sono impasticciatissime

[nnsoxke]

Il termine pgh non ci sta siamo nello spazio ...e anche se ci fosse per i fluidi a bassa densità come l'aria la variazione di quota è trascurabile... Praticamente la relazione che hai usato dn/dt = -L*p è quello che si ottiene dall'equazione di continuità sotituendo l'equazione di stato, solo che al posto della costante L compare anche la velocità che potrebbe non esser costante nel tempo ... Questo è quello che ottengo dalla continuità o conservazione della massa : r*v*A+dr/dt*V =0 (r = densità v= velocità del fluido nel foro)... r e n sono proporzionali

[Gauss_87]

Perfetto nnsoxkè
Abbiamo pensato la stessa cosa nella pratica, solo che te l'hai meglio giustificata

Cmq pensi che in Normale si sarebbero accontentati di una risoluzione simile alla mia?

Adesso proviamo a fare il punto (b)

[nnsoxke]

Una volta ricavato l'andamento della pressione nel tempo si impone il passaggio dell'esponenziale anche per il punto ( 8 min , p finale ) e si ricava l'area... Questo è l'andamento che ho trovato : p = p0 e^(-a t) ; a = rad(2RT /m)* A / V ; m = massa molare dell'aria

[tuvok]

Io ho ragionato così: sia $ n(t)\, $ il numero di moli di aria presente all'istante $ t\, $. Allora la variazione infinitesima del numero di moli sarà data da $ dn=-\frac{n(t)}{V}Avdt $ ossia $ \frac{dn(t)}{dt}=-\frac{n(t)}{V}Av $
dove $ v\, $ è la velocità quadratica media delle molecole lungo una direzione $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $
Dall'equazione differenziale si ricava la legge $ n(t)=n_0e^{-\frac{Av}{V}t} $
La legge della pressione si ricava dall'equazione dei gas perfetti $ p(t)=\frac{n(t)RT}{V}=p_0e^{-\frac{Av}{V}t} $

[nnsoxke]

La velocità (a me viene anche un 2 sotto radice) come l'hai ricavata ? Con l'equazione di bernoulli ?

[tuvok]

Non so se è giusto, ma io ho considerato la velocità $ v\, $ come la velocità quadratica media di agitazione delle molecole di azoto. Poichè approssimativamente, per un piccolo tratto, il flusso in uscita è perpendicolare al foro, allora ho considerato solo una componente di tale velocità, quindi ho scritto $ v=\sqrt{\frac{RT}{M}} $ al posto che $ v=\sqrt{\frac{3RT}{M}} $, che è la velocità di agitazione termica con tutte le 3 componenti xyz.

[nnsoxke]

Si dovrebbe essere giusto , mi sa che si risolve così