4. Sia $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ una funzione non negativa, con concavità rivolta verso l’alto, derivabile e tale che$ f' (0) > 0 $ e $ f (x) = f (2 - x) $ per ogni $ x \in\mathbb R $.
Dimostrare che
$ \displaystyle{\int_0^{2}\ f(x)dx\leq 2f(1) - \frac{[f(1) - f(0)]^2}{f'(0)} $
Provare che se la condizione $ f (x) = f (2 - x) $ non è verificata, la diseguaglianza può non valere.
Anno accademico 1995/96...
Allora ... nell'ipotesi di concavità verso il basso ...
$ \int_0^2f(x)dx=2\int_0^1f(x)dx $ per la simmetria rispetto a x=1.
Inoltre, la derivata prima è positiva per x<1>1.
Poi, poichè la f ha la concavità verso il basso, essa sta sempre sotto ogni sua retta tangene; chiamiamo r la retta tangente in $ A=(0,f(0)) $ e s la retta $ y=f(1) $, sia B il loro punto di intersezione e sia $ C=(1,f(1)) $.
Allora l'integrale di f tra 0 e 1 è minore dell'area sotto la spezzata ABC, che è metà del RHS (ricordando che il coefficiente angolare di r è f'(0)).
$ \int_0^2f(x)dx=2\int_0^1f(x)dx $ per la simmetria rispetto a x=1.
Inoltre, la derivata prima è positiva per x<1>1.
Poi, poichè la f ha la concavità verso il basso, essa sta sempre sotto ogni sua retta tangene; chiamiamo r la retta tangente in $ A=(0,f(0)) $ e s la retta $ y=f(1) $, sia B il loro punto di intersezione e sia $ C=(1,f(1)) $.
Allora l'integrale di f tra 0 e 1 è minore dell'area sotto la spezzata ABC, che è metà del RHS (ricordando che il coefficiente angolare di r è f'(0)).
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HomoPatavinus
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Stavo riscrivendo esattamente lo stesso problema.. per fortuna, cercando come fare il simbolo di integrale, mi sono imbattuto su questo topic.
Il mio primo dubbio è stato già chiarito da quanto leggo, (la concavità era verso il basso), ma ne ho 1 altro: come fa la funzione ad essere sempre non negativa? Se la concavità è verso il basso significa che prima o poi dovrà scendere al disotto dell'asse X o sbaglio? perchè se poi diventasse un asintoto per Y=0 allora cambierebbe la sua concavità....
Il mio primo dubbio è stato già chiarito da quanto leggo, (la concavità era verso il basso), ma ne ho 1 altro: come fa la funzione ad essere sempre non negativa? Se la concavità è verso il basso significa che prima o poi dovrà scendere al disotto dell'asse X o sbaglio? perchè se poi diventasse un asintoto per Y=0 allora cambierebbe la sua concavità....