inequality from a TST

[Simo_the_wolf]

$ x,y,z \in R $, $ xyz = -1 $

Dimostrare che

$ \displaystyle x^4 + y^4+ z^4 + 3(x+y+z) \geq $ $ \displaystyle \frac {x^2} y + \frac {y^2}z +\frac {z^2} x+\frac {x^2} z+\frac {y^2} x+\frac {z^2} y $

[Decan]

Innanzitutto, riscrivo la formula in un modo più compatto:
$ \sum_{cyc} x^4 + 3(x+y+z) \geq \sum_{sym}\frac{x^2}{y} $
Dato che $ \frac{x^2}{y} = -{x^3}z $:
$ \sum_{cyc} x^4 + 3(x+y+z) \geq -\sum_{sym} {x^3}y $
$ \sum_{cyc} {x^3}(x+y+z) + 3(x+y+z) \geq 0 $
$ (x+y+z)(x^3+y^3+z^3+3) \geq 0 $ (1)

CASO 1: x, y e z sono tutti negativi
Allora siano a,b,c i valori assoluti (gli opposti) di x,y,z. Per loro vale media geometrica<=media terza, e cioè, elevando al cubo e moltiplicando per 3:
$ 3=3abc \leq a^3+b^3+c^3 $
che vuol dire che
$ x^3+y^3+z^3+3 \leq 0 $
Le due parentesi del primo membro della disugualianza (1) risultano essere entrambe <=0, e quindi il loro prodotto è >=0, cvd

CASO 2: uno solo tra x, y, e z è negativo
Poniamo wlog x<0.

Supponiamo x+y+z>=0, cioè x+y>=-z. Possiamo elevare al cubo questa disuguaglianza:
$ x^3+3{x^2}y + 3x{y^2}+y^3 \geq -z^3 $ e cioè $ x^3+y^3+x^3+ 3xy(x+y) \geq 0 $
Ora, la tesi è dimostrata per x+y+z>=0 se dimostro 3>=3xy(x+y): in questo caso infatti avrò entrambe le parentesi del primo membro della (1) >=0, e il loro prodotto sarà >=0.
Questa disuguaglianza equivale a
$ 1 \geq -\frac{x+y}{z} $ e cioè a x+y+z>=0, poiché z è positivo. Ma questo era già noto dalla supposizione iniziale.

Supponendo x+y+z<=0 e operando in modo analogo, il discorso è uguale: infatti entrambe le parentesi al primo membro della (1) sono <=0, con un prodotto >=0.

Ce l'ho fatta, Simo? Dimmi di sì ti prego...

[Simo_the_wolf]

sisi ce l'hai fatta!!!

Forse era più sempice concludere sapendo che:

$ a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $

Ma forse adesso questa ti servirà la prossima volta