Polinomio @ SNS
Polinomio @ SNS
Dato il polinomio a coefficienti reali
$ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $,
dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c.
$ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $,
allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ |\lambda| < M+1 $
Edit: Mancava un Valore Assoluto
$ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $,
dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c.
$ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $,
allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ |\lambda| < M+1 $
Edit: Mancava un Valore Assoluto
Ultima modifica di Gauss_87 il 17 ago 2006, 17:36, modificato 1 volta in totale.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Re: Polinomio @ SNS
In realtà si può dire di più - si può dire che $ |\lambda| $ < 1+M. Se infatti $ |x| \ge $ M+1, allora $ \displaystyle |P(x)| \ge \left| |x|^n - \sum_{k=0}^n |a_k| |x|^k\right| \ge $ $ \displaystyle\left| |x|^n - M \cdot \frac{|x|^n - 1}{|x| - 1}\right| = \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} $.Gauss_87 ha scritto:Dato il polinomio a coefficienti reali $ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $, dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c. $ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $, allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ \lambda \leq M+1 $
Re: Polinomio @ SNS
Protresti spiegare le singole disuguaglianze per essere chiaro, ad esempio...HiTLeuLeR ha scritto:In realtà si può dire di più - si può dire che $ |\lambda| $ < 1+M. Se infatti $ |x| \ge $ M+1, allora $ \displaystyle |P(x)| \ge \left| |x|^n - \sum_{k=0}^n |a_k| |x|^k\right| \ge $ $ \displaystyle\left| |x|^n - M \cdot \frac{|x|^n - 1}{|x| - 1}\right| = \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} $.Gauss_87 ha scritto:Dato il polinomio a coefficienti reali $ p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 $, dimostrare che se $ \exists M \in \mathbb{R}^+_0 $ t.c. $ |a_{n-1}| \leq M $, ... , $ |a_0| \leq M $, allora ogni radice $ \lambda $ di $ p(x) $ verifica $ \lambda \leq M+1 $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Re: Polinomio @ SNS
Se $ |x| \ge $ M + 1 > 1, allora $ |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M = |x|^n(|x| - (M + 1)) + M > 0 $, e perciò
$ \displaystyle \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} = \frac{|x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M}{|x|-1} > 0 $.
Senonché $ \displaystyle\left|\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\right| \le \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |x|^k \le M \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k $, siccome $ |a_k| \le M $, per k = 0, 1, ..., n-1. Inoltre $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k = \frac{|x|^n - 1}{|x|-1} $, dalla formula che restituisce la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione $ \ne 1 $. Il resto si fa con la disuguaglianza triangolare, come appunto si diceva...
$ \displaystyle \frac{\left| |x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M\right|}{|x|-1} = \frac{|x|^{n+1} - (M+1)|x|^n + M}{|x|-1} > 0 $.
Senonché $ \displaystyle\left|\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\right| \le \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |x|^k \le M \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k $, siccome $ |a_k| \le M $, per k = 0, 1, ..., n-1. Inoltre $ \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} |x|^k = \frac{|x|^n - 1}{|x|-1} $, dalla formula che restituisce la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione $ \ne 1 $. Il resto si fa con la disuguaglianza triangolare, come appunto si diceva...
HiTLeuLeR, potresti scrivere un post dove spieghi non tanto le disuguaglianze che fai che sono abbastanza chiare, ma il perchè le consideri?
Hai scritto: se fosse $ |\lambda| \geq M+1 $, allora ... , ma dov'è l'ASSURDO che hai trovato?
Scusaci ma noi non siamo già laureati... siamo miseri liceali.
Hai scritto: se fosse $ |\lambda| \geq M+1 $, allora ... , ma dov'è l'ASSURDO che hai trovato?
Scusaci ma noi non siamo già laureati... siamo miseri liceali.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Figurati! Però a che serve quest'ironia? Basta dare corpo ai dubbi, qualcuno risponderà sempre. Giusto?Gauss_87 ha scritto:Scusaci ma noi non siamo già laureati... siamo miseri liceali.
Sia $ x \in \mathbb{R} $. Allora P(x) = 0 sse |P(x)| = 0. Tuttavia ho dimostrato che, se |x| $ \ge $ M+1, allora |P(x)| > 0. Pertanto l'equazione P(x) = 0 non possiede soluzioni al di fuori dell'intervallo ]-(M+1), M+1[Gauss_87 ha scritto: Hai scritto: se fosse $ |\lambda| \geq M+1 $, allora ... , ma dov'è l'ASSURDO che hai trovato?
Non era ironico affatto, anzi ero imbarazzato dal fatto che non avevo afferrato l'assurdo che risolve la tesi.HiTLeuLeR ha scritto: Però a che serve quest'ironia? Basta dare corpo ai dubbi, qualcuno risponderà sempre. Giusto?
Cmq grazie per la risoluzione, io avevo perso del tempo su questo problema perchè pensavo di utilizzare le RELAZIONI COEFFICIENTI-RADICI visto che avevo informazioni per ipotesi su tutte le radici (in valore assoluto) e su tutti i coefficienti.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza