Detreminare la più grande costante $ M $ tale che:
$ \left(a+b+c+d\right)^{2} \geq M \left(ab+bc+cd\right) $
qualunque siano i numeri reali maggiori o uguali a zero a,b,c,d.
Per tale valore di $ M $, determinare i numeri a,b,c,d per i quali si ottiene un'uguaglianza.
Determinare se e come cambia la risposta al punto precedente se a,b,c,d sono numeri reali qualunque.
Sns 2002/2003 #5
Innanzitutto, cancello il doppione.
Inoltre, la soluzione di molti dei quesiti che propongono gli utenti di questo forum appare qui o là su internet; lo scopo del proporre non è semplicemente avere la soluzione, ma a volte è condividere con gli altri un problema che è sembrato stimolante, bello, divertente o istruttivo, per qualche motivo.
Colgo l'occasione per ricordare a tutti che non è gentile nè produttivo postare, come prima risposta ad un problema, il link a un sito che ne offre la soluzione, a meno che il problema in oggetto non sia rimasto a lungo irrisolto e il propositore non ne abbia la soluzione, oppure a meno che il problema non sia già stato affrontato di recente su questo stesso forum.
Inoltre, la soluzione di molti dei quesiti che propongono gli utenti di questo forum appare qui o là su internet; lo scopo del proporre non è semplicemente avere la soluzione, ma a volte è condividere con gli altri un problema che è sembrato stimolante, bello, divertente o istruttivo, per qualche motivo.
Colgo l'occasione per ricordare a tutti che non è gentile nè produttivo postare, come prima risposta ad un problema, il link a un sito che ne offre la soluzione, a meno che il problema in oggetto non sia rimasto a lungo irrisolto e il propositore non ne abbia la soluzione, oppure a meno che il problema non sia già stato affrontato di recente su questo stesso forum.
Per il caso M=4 il tutto è equivalente a:
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.
Se ad M metto un numero maggiore di 4 trovo che la RHS ha valore maggiore del minimo della LHS, quindi non può essere.
Invece un valore di M minore di 4 dà un risultato corretto.
Per cui è verificata per M < 4.
$ (a-b+c-d)^2 + 4 ad \ge 0 $
che è verificata per tutti gli a,b,c,d positivi e ha uguaglianza se a=d=0 e b=c.
Se ad M metto un numero maggiore di 4 trovo che la RHS ha valore maggiore del minimo della LHS, quindi non può essere.
Invece un valore di M minore di 4 dà un risultato corretto.
Per cui è verificata per M < 4.
si ok non avevo letto per bene il testoNEONEO ha scritto:No Gauss, non funziona così. Se usi un caso particolare è logico che M possa essere grande quanto vuoi: il fatto è che devi trovare M in modo tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi a,b,c,d.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Re: Sns 2002/2003 #5
Scusate, sono nuovo del forum. So di essere in (pesante) ritardo ma non capisco una cosa: il fatto che m=4 si trova come condizione svolgendo la disequazione iniziale o bisogna "vederlo"? Perchè io avevo fatto così:
a^2+b^2+c^2+d^2+ (2-m)ab+2ac+2ad+ (2-m)bc+2bd+ (2-m)cd >= 0
Quindi mi era venuto in mente di porre m>=2, perchè altrimenti per opportuni valori si trovano controesempi (appaiono alcuni termini negativi infatti).
Però non ho idea di come si possa migliorare il risultato.
Spero di essere stato chiaro...
a^2+b^2+c^2+d^2+ (2-m)ab+2ac+2ad+ (2-m)bc+2bd+ (2-m)cd >= 0
Quindi mi era venuto in mente di porre m>=2, perchè altrimenti per opportuni valori si trovano controesempi (appaiono alcuni termini negativi infatti).
Però non ho idea di come si possa migliorare il risultato.
Spero di essere stato chiaro...