Si può dare una stima del raggio di Bohr dell'atomo di idrogeno assumendo un orbita circolare dell'elettrone e un potenziale puramente coulombiano. Si faccia tale stima facendo uso della condizione fornita dal principio di indeterminazione $ \displaystyle p*r \geq h $, ove $ p $ è la quantità di moto dell'elettrone.
$ \displaystyle m_e = 9,10 * 10^{-31} kg; e = 1,60 * 10^{-19} C $
$ \epsilon_0 = 8,85 * 10^{-12} F m^{-1}; h = 1,05 * 10^{-34} J s $
Bye,
#Poliwhirl#
Ammissione SNS (2005-2006).3
la forza centripeta che causa il moto circolare dell'elettrone ha intensità:
$ F=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2} F=m_ea_c $ dove $ a_c=\frac{v^{2}}{r} $ dunque:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2}=m_e\frac{v^{2}}{r} $ portando $ r^{2} $ al secondo membro e semplificando si ottiene:
$ m_evr=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0v} m_evr=pr $
$ pr\ge h $ da cui:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0v}\ge h $
quindi
$ v\le \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0h} $
da questa formula abbiamo ottenuto un approssimato valore di $ v $supponendo questo valore minimo (solo per non portarmi dietro la disuguaglianza) continuo dicendo che:
$ \frac{F}{m}=\frac{v^{2}}{r} $
e cioè che:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2}\frac{1}{m_e}=\frac{e^{4}}{16\pi^{2} \epsilon^{2}_0h^{2}}\frac{1}{r} $
risolvendo rispetto ad r:
$ r=\frac {4\pi \epsilon_0h^{2}} {e^{2}m_e} $
$ r=5.29*10^{-11} $ metri
va bene secondo voi?
$ F=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2} F=m_ea_c $ dove $ a_c=\frac{v^{2}}{r} $ dunque:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2}=m_e\frac{v^{2}}{r} $ portando $ r^{2} $ al secondo membro e semplificando si ottiene:
$ m_evr=\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0v} m_evr=pr $
$ pr\ge h $ da cui:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0v}\ge h $
quindi
$ v\le \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0h} $
da questa formula abbiamo ottenuto un approssimato valore di $ v $supponendo questo valore minimo (solo per non portarmi dietro la disuguaglianza) continuo dicendo che:
$ \frac{F}{m}=\frac{v^{2}}{r} $
e cioè che:
$ \frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_0 r^2}\frac{1}{m_e}=\frac{e^{4}}{16\pi^{2} \epsilon^{2}_0h^{2}}\frac{1}{r} $
risolvendo rispetto ad r:
$ r=\frac {4\pi \epsilon_0h^{2}} {e^{2}m_e} $
$ r=5.29*10^{-11} $ metri
va bene secondo voi?
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Tamaladissa
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- Località: Piacenza
Ho provato 2 metodi: minimizzando l'energia totale rispetto al raggio e un altro semplicemente calcolando l'interazione dell'elettrone col nucleo, quest'ultimo mi dà qualcosa del tipo:
$ r = \frac{h^2 4 \pi \epsilon_0}{m q Q} $
L'ordine di grandezza è quello degli amstrong, il che è un bene però l'altro metodo è più elegante anche se devo metterlo a posto perchè il risultato è un pò assurdo.
$ r = \frac{h^2 4 \pi \epsilon_0}{m q Q} $
L'ordine di grandezza è quello degli amstrong, il che è un bene però l'altro metodo è più elegante anche se devo metterlo a posto perchè il risultato è un pò assurdo.
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Tamaladissa
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