Sia P un punto interno ad un triangolo equilatero. Per ogni retta passante
per P, siano X e Y i due punti di intersezione tra la retta e i lati del triangolo. Determinare, per ogni punto P, la retta o le rette che rendono minimo il prodotto
PX · PY.
SNS 1994
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Simo_the_wolf
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Diciamo che la retta intersechi i lati AB e BC nei punti X e Y.
Denotiamo con $ P_X $ la proiezione di $ P $ sul lato $ AB $ e $ P_Y $ la proiezione di $ P $ su $ BC $.
Ora sarà $ \angle {XPP_X} + \angle{ YPP_Y} = 60 ° $ e vale $ PP_X=PX \cos(\angle {XPP_X} ) $ e similmente per $ Y $.
Quindi $ PX*PY = PP_X * PP_Y / (\cos(\angle {YPP_Y}\cos(\angle {XPP_X} ) ) $ $ = 2PP_X PP_Y/ ( \cos ( 60 ° ) + \cos ( 2 \alpha - 60° ) ) $. Qui $ \alpha $ p uno degli angoli citati prima.
Questa espressione ha minimo in $ \alpha=30° $ cioè quando la retta è parallela ad $ AC $ e in questo caso il valore di $ PX*PY = 4/3 *PP_X * PP_Y $.
Detto questoi ovviamente il minimo assoluto si ha quando scegliamo la retta parallela al lato più distante dal punto P.
Denotiamo con $ P_X $ la proiezione di $ P $ sul lato $ AB $ e $ P_Y $ la proiezione di $ P $ su $ BC $.
Ora sarà $ \angle {XPP_X} + \angle{ YPP_Y} = 60 ° $ e vale $ PP_X=PX \cos(\angle {XPP_X} ) $ e similmente per $ Y $.
Quindi $ PX*PY = PP_X * PP_Y / (\cos(\angle {YPP_Y}\cos(\angle {XPP_X} ) ) $ $ = 2PP_X PP_Y/ ( \cos ( 60 ° ) + \cos ( 2 \alpha - 60° ) ) $. Qui $ \alpha $ p uno degli angoli citati prima.
Questa espressione ha minimo in $ \alpha=30° $ cioè quando la retta è parallela ad $ AC $ e in questo caso il valore di $ PX*PY = 4/3 *PP_X * PP_Y $.
Detto questoi ovviamente il minimo assoluto si ha quando scegliamo la retta parallela al lato più distante dal punto P.