Sns 2004/2005 #1
Sns 2004/2005 #1
Si determinino i rettangoli che sono "pavimentabili" con mattonelle rettangolari $ 3 \times 2 $ ciioè che possono essere decomposti in un numero finito di rettangoli(le mattonelle) aventi ciascuno i lati di lunghezza $ 3 $ e $ 2 $.
io ho fatto così.
intanto non ho escluso i casi in cui si formano quadrati perchè sono particolari rettangoli.
I casi base sono $ 2n \times 3m $ e simmetrici $ \forall n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
Ora ci sono anche altre configurazioni di rettangoli che soddisfano la
proprieta’ richiesta, quelli formati da sotto-rettangoli con almeno un lato
lungo il minimo comune multiplo tra 3 e 2, cioe’ 6.
Condidero quindi il
rettangolo con 5 rettangoli di cui 3 disposti in orizzontale (2x3) uno sotto
l’altro e 2 in verticale (3x2) uno sotto l’altro a destra dei primi 3:
in tal modo si ottiene un 6x5, il quale puo’ essere allungato a destra di un
qualsiasi numero di coppie di 2 rettangoli disposti in verticale uno sotto
l’altro, pertanto, considerando anche i casi simmetrici, si ottengono i
rettangoli:
$ 6n \times (2 + 3m) $ e $ 6n \times (3 + 2m) $, $ \forall n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
intanto non ho escluso i casi in cui si formano quadrati perchè sono particolari rettangoli.
I casi base sono $ 2n \times 3m $ e simmetrici $ \forall n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
Ora ci sono anche altre configurazioni di rettangoli che soddisfano la
proprieta’ richiesta, quelli formati da sotto-rettangoli con almeno un lato
lungo il minimo comune multiplo tra 3 e 2, cioe’ 6.
Condidero quindi il
rettangolo con 5 rettangoli di cui 3 disposti in orizzontale (2x3) uno sotto
l’altro e 2 in verticale (3x2) uno sotto l’altro a destra dei primi 3:
in tal modo si ottiene un 6x5, il quale puo’ essere allungato a destra di un
qualsiasi numero di coppie di 2 rettangoli disposti in verticale uno sotto
l’altro, pertanto, considerando anche i casi simmetrici, si ottengono i
rettangoli:
$ 6n \times (2 + 3m) $ e $ 6n \times (3 + 2m) $, $ \forall n,m \in \mathbb{Z}^+ $.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Più semplicemente:
Sia A l'area del rettangolone. 6 | A=mn allora sicuramente 6|m oppure 3|m, 2|n.
Quelli del tipo 3a x 2b vanno di certo bene.
Quelli del tipo 6c x d vanno bene per ogni d intero diverso da 1 (basta provarli fino a 7 e poi attaccarci dietro un quadrato 6x6). Visto che alcuni li ho già presi prima, restano da prendere quelli in cui d = 1,5 mod 6.
Ciao!
Sia A l'area del rettangolone. 6 | A=mn allora sicuramente 6|m oppure 3|m, 2|n.
Quelli del tipo 3a x 2b vanno di certo bene.
Quelli del tipo 6c x d vanno bene per ogni d intero diverso da 1 (basta provarli fino a 7 e poi attaccarci dietro un quadrato 6x6). Visto che alcuni li ho già presi prima, restano da prendere quelli in cui d = 1,5 mod 6.
Ciao!
Bacco ha scritto: Visto che alcuni li ho già presi prima, restano da prendere quelli in cui d = 1,5 mod 6.
quindi adesso si deve dimostrare che questi 2 tipi nn possono essere presi tramite una colorazione ad esempio?
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Infatti, anche io l'ho fatto così, che d'altronde è più generale della soluzione sopra, ma non riscivo a dimostrare che tutti i modi andavano bene. Però in effettu adesso che l'hai detto tu, è vero che basta verificarli fino al sette, cioè a 6 +1 e poi per ottenere i successivi numeri si aggiunge un addendo compreso tra 2 e sette.
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Simo_the_wolf
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