Due amici si sono scritti alla prima classe di un liceo. Tale liceo ha due sezioni le cui prime classi hanno rispettivamente $ n $ e $ m $ studenti, con $ \displaystyle m, n $ compresi tra $ 20 $ e $ 30 $. Sapendo che la probabilità che i due amici si trovino nella stessa classe è $ \displaystyle \frac{1}{2} $, dite quanti sono gli studenti delle due classi.
Bye,
#Poliwhirl#
Tipiche classi liceali italiane sovraffollate.. SNS(83-84).5
Immagino ci sia una via molto più breve. Tutte le variabili introdotte saranno interi non negativi. Vi propongo un assaggio di brute force:
La probabilità che il primo amico capiti nella prima classe è $ $ \frac{n}{m+n} $ che poi vi capiti anche l'altro è $ $ \frac{n-1}{m+n-1} $. Analogamente nell'altra classe. Quindi la probabilità che siano insieme è
$ $ \frac{m(m-1)+n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)} $
Imponendo che sia un mezzo avremo l'equazione
$ m^2+n^2-m-n-2mn=0 $
quindi il delta in $ m $ cioè
$ 8n+1 $ deve essere un quadrato.
Fra $ 161 $ e $ 241 $ ci sono tre quadrati $ \{169,196,225\} $ fra i quali $ 169,225 $ sono congrui a 1 modulo 8. Quindi $ n=21 $.
Abbiamo quindi l'equazione
$ m^2-43m+420=0 $.
Fra le due soluzioni scegliamo solo quella fra 20 e 30 e quindi otteniamo la coppia $ (m,n)=(28,21) $
Ovviamente è soluzione, per simmetria, anche la coppia $ (21,28) $
EDIT: Il metodo è lo stesso, fatevi anche $ 225 $
La probabilità che il primo amico capiti nella prima classe è $ $ \frac{n}{m+n} $ che poi vi capiti anche l'altro è $ $ \frac{n-1}{m+n-1} $. Analogamente nell'altra classe. Quindi la probabilità che siano insieme è
$ $ \frac{m(m-1)+n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)} $
Imponendo che sia un mezzo avremo l'equazione
$ m^2+n^2-m-n-2mn=0 $
quindi il delta in $ m $ cioè
$ 8n+1 $ deve essere un quadrato.
Fra $ 161 $ e $ 241 $ ci sono tre quadrati $ \{169,196,225\} $ fra i quali $ 169,225 $ sono congrui a 1 modulo 8. Quindi $ n=21 $.
Abbiamo quindi l'equazione
$ m^2-43m+420=0 $.
Fra le due soluzioni scegliamo solo quella fra 20 e 30 e quindi otteniamo la coppia $ (m,n)=(28,21) $
Ovviamente è soluzione, per simmetria, anche la coppia $ (21,28) $
EDIT: Il metodo è lo stesso, fatevi anche $ 225 $
Ultima modifica di Boll il 30 ago 2006, 14:03, modificato 1 volta in totale.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Boll ha scritto:$ \{169,196,225\} $ fra i quali solo $ 169 $ è congruo a 1 modulo 8.
Per punzione, Boll scriverà cento volte: "I quadrati dei numeri dispari sono tutti congrui a uno modulo otto".
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Giacché bisogna tormentarti, posto la soluzione più facile:Boll ha scritto:Immagino ci sia una via molto più breve.
Dobbiamo avere che le probabilita che si trovino in classe insieme sia uguale alle probabilita che siano in classi diverse.
Quindi servono due valori $ x,y $ (gli alunni in ciascuna classe) che soddisfino l’equazione:
$ x(x-1)+y(y-1)=2xy $
che si puo trasformare in
$ (x-y)^2=x+y $
quindi $ x+y $ è un quadrato perfetto.
L’unico quadrato perfetto tra $ 40 $ e $ 60 $ è $ 49 $, quindi $ x+y=49 $
Dal LHS della disuguaglianza ricaviamo che $ x-y=7 $
Infine con un sistemino di primo grado a due incognite arriviamo facilmente alla soluzione:
$ x=28 $ e $ y=21 $
@ Boll: va bene un po’ di sana forza bruta ogni tanto, ma complicarsi la vita a quel punto...
ciao!
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)