SNS 1993/1994#3 LA VENDETTA!

[HomoPatavinus]

Premetto che non sono sicuro che sia un problema di TdN o di Geometria o di Algebra, al massimo qualche "pezzo grosso" provvederà a spostarlo.

PROBLEMA:
Dati tre numeri interi p>2, q>2, r>2 si consideri un parallelepipedo di legno tale che i tre spigoli uscenti da un vertice abbiano lunghezza p,q,r. Dopo aver dipinto la superficie esterna del parallelepipedo, questo viene tagliato, mediante sezioni parallele alle facce, in cubetti aventi spigoli di lunghezza 1. Ovviamente alcuni dei cubetti sono parzialmente colorati, mentre altri non sono colorati affatto. Si dimostri che esiste solo un numero finito di terne (p,q,r) per ciascuna delle quali il numero dei cubetti parzialmente colorati è uguale al numero di quelli che non sono colorati affatto.

P.S.
Secondo me questo è difficile!ci ho passato un sacco di tempo senza risolvere niente... Neppure HitLeuLer lo risolverà!
Se qualcuno ha voglia di risparmiarsi alcuni calcoli l'equazione da discutere dovrebbe essere:
(P-2)(Q-2)(R-2)=PQR/2

[HiTLeuLeR]

P.S. Secondo me questo è difficile! ci ho passato un sacco di tempo senza risolvere niente... Neppure HitLeuLer lo risolverà!

Se anche avessi avuto ragione, nessuno (a parte te, si direbbe!) se ne sarebbe stupito. Io men che meno. :?

Se qualcuno ha voglia di risparmiarsi alcuni calcoli l'equazione da discutere dovrebbe essere: (P-2)(Q-2)(R-2)=PQR/2

Mi fido (ho voglia di risparmiarmi alcuni calcoli) e parto da qui! Si tratta equivalentemente di determinare le soluzioni in interi (p,q,r), tali che min(p,q,r) > 2, per l'equazione $ \displaystyle \left(1 - \frac{2}{p}\right)\left(1 - \frac{2}{q}\right)\left(1 - \frac{2}{r}\right) = \frac{1}{2} $. Wlog, possiamo ammettere $ p \le q \le r $. Osserviamo allora che $ \displaystyle \mbox{LHS} \ge \left(1 - \frac{2}{p}\right)^3 > \frac{1}{2} $ se $ \displaystyle p > 2\cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^{-1} $, i.e. se p > 9. Non resta perciò altro da dimostrare che, per ogni fissato valore di $ p \in \overline{3,9} $, l'equazione $ \displaystyle \left(1 - \frac{2}{q}\right)\left(1 - \frac{2}{r}\right) = \frac{p}{2(p-1)} $ possiede un numero finito di soluzioni.