Polinomio in due variabili [SNS 2004-2005, 3]

[Ani-sama]

Sia $ $p(x,y)$ $ un polinomio a coefficienti reali nelle due variabili $ $x$ $ e $ $y$ $ tale che $ $p(n,0)=0$ $ per ogni intero positivo $ $n$ $. Si provi che esiste un polinomio $ $q(x,y)$ $ tale che $ $p(x,y)=y \cdot q(x,y)$ $.

[bh3u4m]

Se p non fosse esprimibile come y q avremmo (fissata la y) un polinomio con infinite soluzioni in x (insomma, se la y=0 non annulla il polinomio e rimane un'espressione diversa da zero), ma ciò non è possibile (il grado dovrebbe essere infinito).