La possibile esistenza di una "costante cosmologica" $ \Lambda $ è uno dei risultati più sorprendenti della fisica degli ultimi anni. In presenza di una costante cosmologica, la forza radiale su un pianeta di massa $ m $ in orbita attorno al Sole ad una distanza $ r $ vale:
$ \displaystyle F_{\Lambda} = -\frac{GmM_S}{r^2} + \frac{\Lambda mr}{3} $
(a) Per $ \Lambda $ positivo, il termine correttivo dovuto a una costante cosmologica è equivalente alla presenza di una densità di massa uniforme e negativa (cioè che agisce respingendo il pianeta). Densità di quale valore?
(b) Le osservazioni cosmologiche indicano un valore di $ \Lambda $ di circa $ 10^{-35} sec^{-2} $. Qual è l'ordine di grandezza della modifica relativa del periodo di rivoluzione della Terra intorno al Sole dovuto alla presenza di una tale costante cosmologica?
Bye,
#Poliwhirl#
Costante cosmologica [Ammissione SNS (2004-2005).6]
Io questo problema sinceramente non penso d'averlo capito. Anche perché, come esce a me, è banalissimo!
Si nota infatti quasi automaticamente che $ $\frac{\Lambda m r}{3}$ $ ha la forma della legge di Hooke, cioè $ $F=kx$ $, dove qui la costante è $ $\frac{\Lambda m}{3}$ $. Uno, a questo punto, si ricorda che la forza di gravità assume effettivamente la forma della legge di Hooke se ci si trova all'interno di una sfera di una certa densità uniforme $ $\rho$ $, come per esempio all'interno della Terra! Infatti, se $ $F=G\frac{mM}{r^2}$ $, possiamo porre $ $M=\rho V= \rho \frac{4}{3}\pi r^3$ $, da cui esce fuori rapidamente $ $F=\left(\frac{G4\pi \rho m}{3}\right)r$ $. Ora, da una banale analisi dimensionale, scopriamo che $ $\Lambda$ $ ha le dimensioni di $ $G\rho$ $. Se poi, volendo semplificare, supponiamo la densità di massa ricercata distribuita uniformemente in modo sferico, allora siamo autorizzati a porre $ $\Lambda=4\pi G \rho$ $.
A questo punto, il mio dubbio: il problema richiede di trovare $ $\rho$ $; tuttavia, sarà possibile ricavarlo solo in funzione della forza gravitazionale effettivamente misurata, dal momento che non vedo proprio alcuna maniera per poter calcolarla, in assenza di altri dati...
Per quanto riguarda il punto (b), invece... beh, dovrebbe essere sufficiente porre $ $F=m \cdot \omega^2 r$ $ e, con due conti, ricavare l'espressione del periodo nel caso che la costante cosmologica sia assente e nel caso che sia presente, e confrontare i due valori... mah! Mi sembra troppo facile, boh.
Si nota infatti quasi automaticamente che $ $\frac{\Lambda m r}{3}$ $ ha la forma della legge di Hooke, cioè $ $F=kx$ $, dove qui la costante è $ $\frac{\Lambda m}{3}$ $. Uno, a questo punto, si ricorda che la forza di gravità assume effettivamente la forma della legge di Hooke se ci si trova all'interno di una sfera di una certa densità uniforme $ $\rho$ $, come per esempio all'interno della Terra! Infatti, se $ $F=G\frac{mM}{r^2}$ $, possiamo porre $ $M=\rho V= \rho \frac{4}{3}\pi r^3$ $, da cui esce fuori rapidamente $ $F=\left(\frac{G4\pi \rho m}{3}\right)r$ $. Ora, da una banale analisi dimensionale, scopriamo che $ $\Lambda$ $ ha le dimensioni di $ $G\rho$ $. Se poi, volendo semplificare, supponiamo la densità di massa ricercata distribuita uniformemente in modo sferico, allora siamo autorizzati a porre $ $\Lambda=4\pi G \rho$ $.
A questo punto, il mio dubbio: il problema richiede di trovare $ $\rho$ $; tuttavia, sarà possibile ricavarlo solo in funzione della forza gravitazionale effettivamente misurata, dal momento che non vedo proprio alcuna maniera per poter calcolarla, in assenza di altri dati...
Per quanto riguarda il punto (b), invece... beh, dovrebbe essere sufficiente porre $ $F=m \cdot \omega^2 r$ $ e, con due conti, ricavare l'espressione del periodo nel caso che la costante cosmologica sia assente e nel caso che sia presente, e confrontare i due valori... mah! Mi sembra troppo facile, boh.
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perchè in funzione della forza di gravità effettivamente misurata?Ani-sama ha scritto:$ $\Lambda=4\pi G \rho$ $.
A questo punto, il mio dubbio: il problema richiede di trovare $ $\rho$ $; tuttavia, sarà possibile ricavarlo solo in funzione della forza gravitazionale effettivamente misurata, dal momento che non vedo proprio alcuna maniera per poter calcolarla, in assenza di altri dati...
la tua $ G $ è la costante di gravitazione universale, la risoluzione del punto (a) è perfetta così come hai fatto.
per il punto (b) basta fare $ \frac{\Delta T}{T} $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
si $ \Lambda $ è un valore noto.. l'ho trovato su di un libro e quando l'ho visto ho subito pensato a questo problemino che avevo fatto un po di tempo fàAni-sama ha scritto:Ah, dici? uhm, boh, allora si poteva considerare $ $\Lambda$ $ noto... vabbè, pensavo di doverlo tenere incognito e calcolare tutto tenendo, al contrario, $ $F_{\Lambda}$ $ costante...
Niente, se è giusta... però, davvero facile!
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
sinceramente non ho fatto il conto ma a parte errori ho
$ \displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{\gamma M_S}} $
$ \displaystyle T_{\Lambda} = \sqrt{\frac{12 \pi^2 d^3}{3 \gamma M_S - \Lambda d^3} } $
Variazione relativa
$ \displaystyle \frac{T_{\Lambda} - T}{T} $
$ \displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{\gamma M_S}} $
$ \displaystyle T_{\Lambda} = \sqrt{\frac{12 \pi^2 d^3}{3 \gamma M_S - \Lambda d^3} } $
Variazione relativa
$ \displaystyle \frac{T_{\Lambda} - T}{T} $
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza