Si vogliono disporre alcuni satelliti, fissi rispetto la Terra, in modo che da ogni punto della superficie terrestre se ne veda almeno uno. Si supponga per semplicità che la terra sia perfettamente sferica e i satelliti puntiformi. Dimostrare che occorrono non meno di quattro satelliti per ottenere lo scopo.
Bye,
#Poliwhirl#
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Soluzione delirante.
$ O $ è il centro della terra.
Dato un satellite $ P $, l'insieme dei punti della terra che lo vedono all'orizzonte è una circonferenza (si tratta in pratica del luogo dei punti di tangenza dei vari piani passanti per P e tangenti la terra). A $ P $associo il piano che contiene tale circonferenza. Esso divide lo spazio in due semispazi, di cui diremo che:
è buono il semispazio non contenente $ O $
è cattivo l'altro semispazio.
Chiamo buoni i punt appartenenti al semispazio buono (piano compreso)
Chiaramente, in punti della terra da cui si vede P sono buoni.
Ora, noi vogliamo che tutti i punti della terra siano buoni. Tale condizione può verificarsi se tutti i punti esterni alla terra sono buoni. Questo perchè se ne esistesse uno esterno alla terra cattivo, lo sarebbero anche tutti i punti del segmento che lo congiunge con O, uno dei quali è sulla terra.
Quindi la parte cattiva deve essere contenuta tutta all'interno della terra.
Dato che ogni satellite individua un piano, noi vogliamo che i piani individuati dai satelliti delimitino una regione finita di spazio (una infinita non può infatti essere contenuta nella terra). Servono almeno 4 piani, quindi 4 satelliti.
$ O $ è il centro della terra.
Dato un satellite $ P $, l'insieme dei punti della terra che lo vedono all'orizzonte è una circonferenza (si tratta in pratica del luogo dei punti di tangenza dei vari piani passanti per P e tangenti la terra). A $ P $associo il piano che contiene tale circonferenza. Esso divide lo spazio in due semispazi, di cui diremo che:
è buono il semispazio non contenente $ O $
è cattivo l'altro semispazio.
Chiamo buoni i punt appartenenti al semispazio buono (piano compreso)
Chiaramente, in punti della terra da cui si vede P sono buoni.
Ora, noi vogliamo che tutti i punti della terra siano buoni. Tale condizione può verificarsi se tutti i punti esterni alla terra sono buoni. Questo perchè se ne esistesse uno esterno alla terra cattivo, lo sarebbero anche tutti i punti del segmento che lo congiunge con O, uno dei quali è sulla terra.
Quindi la parte cattiva deve essere contenuta tutta all'interno della terra.
Dato che ogni satellite individua un piano, noi vogliamo che i piani individuati dai satelliti delimitino una regione finita di spazio (una infinita non può infatti essere contenuta nella terra). Servono almeno 4 piani, quindi 4 satelliti.
Con 1 è impossibile.
Con 2 solo nel caso limite a distanza $ =\infty $, e non mi sembra sia valido.
Con 3 di nuovo nel caso limite, altrimenti i so che per tre punti (satelliti) passa un piano, e quindi rimarrano "scoperti" sul globo almeno un polo (rispetto a quel piano).
Con 4 si vede che va bene. I satelliti ai vertici di un tetraedro regolare, la terra tangente alle facce per semplicità, (se no basta che sia interna e i centri coincidano).
Con 2 solo nel caso limite a distanza $ =\infty $, e non mi sembra sia valido.
Con 3 di nuovo nel caso limite, altrimenti i so che per tre punti (satelliti) passa un piano, e quindi rimarrano "scoperti" sul globo almeno un polo (rispetto a quel piano).
Con 4 si vede che va bene. I satelliti ai vertici di un tetraedro regolare, la terra tangente alle facce per semplicità, (se no basta che sia interna e i centri coincidano).