sns 2006-2007, es. 2

[hydro]

Dato che non l'ha ancora fatto nessuno posto qualche problema del test d'ammissione......

Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che $ MCD(a,b,c)=1 $

(1)
Sia $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c} $
Dimostrare che $ a,b,c $ sono quadrati perfetti.
E' ancora vera la tesi in assenza della condizione sul $ MCD $?

(2)
Sia $ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{c} $
Dimostrare che $ a,b,c $ sono cubi perfetti

[Sisifo]

Mmm.. ci provo solo per esercizio..

1)
Elevando al quadrato la relazione otteniamo:
$ a+b+2 \sqrt{ab}=c \rightarrow \sqrt{ab} = (c-a-b)/2 $
Da cui ab è un quadrato perfetto.. Allora, supponendo $ a=ma', b=mb' $:
$ m(\sqrt{a'} * \sqrt{b'}) $ è un numero intero e a' e b' sono primi fra loro, per cui a' e b' sono quadrati perfetti. Inoltre, sostituendo nella relazione iniziale, e dato che MCD(a,b,c)=1 -> MCD(m,c)=1, $ \sqrt{m}(\sqrt{a'} + \sqrt{b'})=\sqrt{c} $ e cioe' m=1 (altrimenti sarebbe uguale a c diviso la radice quadrata di a' al quadrato piu' b' al quadrato, e quindi un divisore di c).
Quindi a e b sono quadrati perfetti. poichè dalla relazione iniziale la radice di c è un numero intero, allora anche c è un quadrato perfetto.

Se MCD(a,b,c)!=1, allora la tesi non è sempre vera, infatti

$ \sqrt{12} + \sqrt{3}= \sqrt{27} $

..to be continued..

[Boll]

Dato che non l'ha ancora fatto nessuno posto qualche problema del test d'ammissione......

Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che $ MCD(a,b,c)=1 $
(2)
Sia $ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{c} $
Dimostrare che $ a,b,c $ sono cubi perfetti

Eleviamo al cubo a destra e a sinistra

$ a+b+3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})=c $
$ $ \sqrt[3]{abc}=\frac{1}{3}(c-a-b) $
quindi
$ abc $ è un cubo perfetto

Ora, se $ (a,b)=k $ anche $ c $ avrebbe questo fattore $ k $. Se $ (b,c)=k $ anche $ a $ avrebbe questo fattore $ k $. Se $ (a,c)=k $ anche $ b $ avrebbe questo fattore $ k $.

Questo chiude la dimostrazione.

[quantico]

io ho diviso ambo i membri per radice di 'b'
e poi ho portato sotto il segno di radice, in questo modo viene
sqrt(a/b)-sqrt(c/b)=1
l'euguaglianza è verificata solo se le radici dei 2 sono numeri interi e qndi a e b devono essere coprimi fra loro e quadrati perfetti

[HiTLeuLeR]

[...] in questo modo viene $ \sqrt{a/b}-\sqrt{c/b}=1 $ l'uguaglianza è verificata solo se le radici dei 2 (ndH: le due radici?) sono numeri interi e quindi a e b devono essere coprimi fra loro e quadrati perfetti

Questa non è una prova. Questa è soltanto chiacchiera.

[Pigkappa]

1)Elevando al quadrato si ha

$ a + b + \sqrt{a*b} = c $

Poichè a e b non hanno fattori in comune, devono essere entrambi quadrati perfetti. Perciò $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ è intero, quindi la radice di c è intera, quindi c è un quadrato perfetto.

Se MCD(a,b,c) non vale 1 la tesi è falsa (a=b=2, c=8 è un controesempio)

2)Elevando al cubo, in modo analogo si ottiene che$ 3*\sqrt[3]{a*b}*(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} $ deve essere intero da cui a e b sono cubi perfetti (mi sa che questo passaggio l'ho spiegato un po' male però )

[hydro]

1)Elevando al quadrato si ha

$ a + b + \sqrt{a*b} = c $

Poichè a e b non hanno fattori in comune, devono essere entrambi quadrati perfetti.

Ma si può dire che a e b non hanno fattori in comune? perchè la condizione è che $ MCD(a,b,c)=1 $, ma per esempio se $ a=b=2 $ e $ c=3 $ è vero che $ MCD(a,b,c)=1 $ ma non è vero che a e b non hanno fattori in... comune...

[Pigkappa]

Accidenti!
Ecco perchè sembrava troppo facile, domani ritento.

[hydro]

comunque, penso che si possa ragionare così: se a e b hanno un fattore in comune $ d \neq 1 $ allora $ a=a_0d $ e $ b=b_0d $ per qualche $ a_0,b_0 $. Per cui

$ a+b+\sqrt{ab}=c \Longleftrightarrow d(a_0+b_0+\sqrt{a_0b_0})=c $, da cui segue semplicemente che $ d|c $, il che è una contraddizione, essendo
$ MCD(a,b,c)=1 $