sns 2006-2007 es. n°5

[Simo_the_wolf]

Uno specchio riflette il $ 98 $% dell'energia luminosa incidente, ne assorbe l'$ 1 $% e ne fa passare l'$ 1 $%; inoltre si comporta identicamente su entrambe le facce. Sia ora data una sorgente luminosa di potenza $ 1 W $. Siano successivamente posti 2 specchi di quelli descritti prima posti a distanza $ 1 m $ l'uno dall'altro.

(a) Di determini la potenza uscente dal secondo specchio;
(b) l'energia luminosa presente tra i due specchi;
(c) si supponga di spegnere la sorgente luminosa. Dopo quanto tempo $ t $ l'energia luminosa tra i due specchi si dimezzerà.

[__Cu_Jo__]

Il punto a se non mi ricordo male era la potenza trasmessa dallo specchio che è ben diverso. Comunque era $ \left( {\frac{1}{{100}}} \right)^2 W = 0.1mW $
Quanto al secondo punto io ho considerato le varie riflessioni.Veniva la serie geometrica:
$ \diplaystyle P_{TOT} = 0.01W\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right)} ^k = 0.5W $
Per il 3° ho risolto l'equazione:
$ \displaystyle 0.25W = 0.01W\sum\limits_{k = n}^\infty {\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right)} ^k $
che alla fine veniva ,se non erro,n=123 quindi il tempo l'ho ricavato con la formula $ \displaystyle t = 123\frac{d}{c} $

[frengo]

posto anche la mia soluzione

1)siano $ P_1 $ e $ P_2 $ le potenze emesse dai due specchi all'interno(cioè uno verso l'altro).abbiamo le seguenti due relazioni

$ P_1=\frac{98}{100}P_2+\frac{1}{100} $
$ P_2=\frac{98}{100}P_1 $

da cui $ P_1=\frac{100}{396}W $ e $ P_2=\frac{98}{396}W $

abbiamo poi che $ P_3 $ (la potenza emessa dal secondo specchio all' "esterno") soddisfa

$ P_3=\frac{1}{100}P_1 $
$ P_3=\frac{1}{396}W $

quindi la potenza emessa in totale dal secondo specchio è $ P_2+P_3=\frac{99}{396}W=\frac{1}{4}W $.

2)l'energia totale all'istante t si calcola da
$ E=\int\limits^t_{t-\frac{1}{c}}(P_1+P_2)dt $$ =\frac{P_1+P_2}{c}=\frac{1}{2c}=1,66 \cdot 10^{-7} $

3)dopo aver spento la sorgente luminosa P_1 e P_2 diminuiscono in funzione del tempo, nella legge(t=0 quando la luce smette di arrivare sul primo specchio):

$ \displaystyle P_1(t)=P_{1i}\left(\frac{98}{100}\right)^{2\left[\frac{ct}{2}\right]+2} $
$ \displaystyle P_2(t)=P_{2i}\left(\frac{98}{100}\right)^{2\left[\frac{ct+1}{2}\right]} $
$ \displaystyle P_1(t)+P_2(t)=(P_{1i}+P_{2i})\left(\frac{98}{100}\right)^{[ct]+1} $

(fidatevi, è così)
quindi l'energia luminosa al tempo $ t=\frac{n}{c}+a $ (con $ 0\leq a<\frac{1}{c} $) diventa

$ E(t)=\int\limits^t_{t-\frac{1}{c}}(P_1(t)+P_2(t))dt $$ =\int\limits^{\frac{n}{c}+a}_{\frac{n}{c}}(P_{1i}+P_{2i})\left(\frac{98}{100}\right)^{n+1}dt+ $$ \int\limits^{\frac{n}{c}}_{\frac{n-1}{c}+a}(P_{1i}+P_{2i})\left(\frac{98}{100}\right)^{n}dt= $
$ =(P_{1i}+P_{2i})\left( a\left(\frac{98}{100}\right)^{n+1}+\left(\frac{1}{c}-a\right)\left(\frac{98}{100}\right)^n\right) $

affinchè si riduca della metà bisogna risolvere l'equazione

$ a\left(\frac{98}{100}\right)^{n+1}+\left(\frac{1}{c}-a\right)\left(\frac{98}{100}\right)^n=\frac{1}{2c} $
$ 2-\frac{ac}{25}=\left(\frac{100}{98}\right)^n $

dato che $ \frac{49}{25}\leq LHS \leq 2 $
$ \frac{49}{25}\leq \left(\frac{100}{98}\right)^n \leq 2 $
$ 33,31\leq n\leq 34,30 $
$ n=34 $
da cui
$ a=\frac{50}{c}-\frac{25}{c}\left(\frac{100}{98}\right)^{34}=\frac{0,31}{c} $

e quindi $ t=\frac{34,31}{c}=1,14\cdot 10^{-7} $

ciao ciao

[Gauss_87]

Il punto a se non mi ricordo male era la potenza trasmessa dallo specchio che è ben diverso. Comunque era $ \left( {\frac{1}{{100}}} \right)^2 W = 0.1mW $
Quanto al secondo punto io ho considerato le varie riflessioni.Veniva la serie geometrica:
$ \diplaystyle P_{TOT} = 0.01W\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right)} ^k = 0.5W $
Per il 3° ho risolto l'equazione:
$ \displaystyle 0.25W = 0.01W\sum\limits_{k = n}^\infty {\left( {\frac{{98}}{{100}}} \right)} ^k $
che alla fine veniva ,se non erro,n=123 quindi il tempo l'ho ricavato con la formula $ \displaystyle t = 123\frac{d}{c} $

scusa ma perchè al primo punto non ti viene una serie geometrica?

la potenza trasmessa da S2 dovrebbe essere non solo quella della prima "trasmissione" ma anche della seconda dopo 2 riflessioni, della terza,... della n-esima con n quasi infinito

[__Cu_Jo__]

Si,hai ragione...Comunque come hai trovato l'energia luminosa?Io ho moltiplicato la potenza per d/c

[Gauss_87]

si, ma sempre con una sommatoria..