Una clessidra di altezza $ 2h $ e di massa $ M $ contiene una quantità di sabbia di massa $ m $. La clessidra viene posta su di una bilancia, e all'istante $ t=0 $ tutta la sabbia è nella metà superiore della clessidra.
Descrivi che cosa segna l'ago della bilancia dall'istante $ t=0 $ all'istante in cui l'ultimo granello di sabbia tocca il fondo e disegnane il grafico.
(si supponga che la quantità di sabbia che cade per unità di tempo sia costante e valga $ \lambda=\frac{dm}{dt} $, e che ogni granello di sabbia si fermi istantaneamente quando tocca il fondo)
sns 2006-2007, es. 2
posto $ \Delta t=\sqrt{2h/g} $, $ \Delta m=\lambda \Delta t $ e $ T=m/\lambda $
L'andamento della misura nel tempo ha un andamento lineare a tratti (trapeziodale) per i seguenti punti:
$ (0,(M+m)g) $
$ (\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (T-\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (T,(M+m)g) $
dopo di che è costante.
Non me lo fate postare perchè sono alquanto imbranato in queste cose multimediali.
ciao
PS: ovviamente penso si debba trascurare il fatto che il dinamometro ha una sua deformabilità e quindi le relative perturbazioni dinamiche.
L'andamento della misura nel tempo ha un andamento lineare a tratti (trapeziodale) per i seguenti punti:
$ (0,(M+m)g) $
$ (\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (T-\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (T,(M+m)g) $
dopo di che è costante.
Non me lo fate postare perchè sono alquanto imbranato in queste cose multimediali.
ciao
PS: ovviamente penso si debba trascurare il fatto che il dinamometro ha una sua deformabilità e quindi le relative perturbazioni dinamiche.
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
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HomoPatavinus
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Quoto:
La linea che si viene a creare è una spezzata che presenta un salto in corrispondenza del primo urto della sabbia con il fondo della clessidra e un balzo alla fine quando tutta la sabbia torna ad essere ferma. A quel punto il peso rilevato torna ad essere quello iniziale della clessidra con la sabbia ferma nella parte superiore.HomoPatavinus ha scritto:no devi contare anche la quantità di moto provocata dalla sabbia che cade
La deformabilità del dinamometro non c'entra minimamente credo con il problema.BMcKmas ha scritto:
PS: ovviamente penso si debba trascurare il fatto che il dinamometro ha una sua deformabilità e quindi le relative perturbazioni dinamiche.
Comunque la soluzione mi sembra corretta.
@Gauss_87 tu che ne dici?
io dico
$ P(t=0) = M+m $
perchè se il foro fosse infinitesimo (pensate a 1 granello che cade ogni 4 anni) allora è come se non ci fosse il foro e la bilancia segna la somma dellle masse.
ovviamente alla fine $ P(t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{m}{\lambda}) = M+m $
Ora considero che ad ogni istante la massa d'aria "sospesa" non viene "registrata" dalla bilancia.
A regime tale massa è $ \Delta m = \lambda \sqrt{\frac{2h}{g}} $, all'inizio tale massa cresce linearmente da $ 0 $ fino a $ \Delta m $, sulla fine decresce da $ \Delta m $ fino a $ 0 $.
Quindi:
$ P(0 \leq t \leq \sqrt{\frac{2h}{g}}) = M + m - \lambda t $
$ P(\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq t \leq \frac{m}{\lambda} ) = M + m - \lambda \sqrt{\frac{2h}{g} $
$ P(\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq t \leq \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{m}{\lambda}) = M + m - \lambda \sqrt{\frac{2h}{g}} + \lambda t $
Detto questo, aggiungo che all'esame ho pensato a tutt'altra situazione della clessidra, sbagliando!
$ P(t=0) = M+m $
perchè se il foro fosse infinitesimo (pensate a 1 granello che cade ogni 4 anni) allora è come se non ci fosse il foro e la bilancia segna la somma dellle masse.
ovviamente alla fine $ P(t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{m}{\lambda}) = M+m $
Ora considero che ad ogni istante la massa d'aria "sospesa" non viene "registrata" dalla bilancia.
A regime tale massa è $ \Delta m = \lambda \sqrt{\frac{2h}{g}} $, all'inizio tale massa cresce linearmente da $ 0 $ fino a $ \Delta m $, sulla fine decresce da $ \Delta m $ fino a $ 0 $.
Quindi:
$ P(0 \leq t \leq \sqrt{\frac{2h}{g}}) = M + m - \lambda t $
$ P(\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq t \leq \frac{m}{\lambda} ) = M + m - \lambda \sqrt{\frac{2h}{g} $
$ P(\sqrt{\frac{2h}{g}} \leq t \leq \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{m}{\lambda}) = M + m - \lambda \sqrt{\frac{2h}{g}} + \lambda t $
Detto questo, aggiungo che all'esame ho pensato a tutt'altra situazione della clessidra, sbagliando!
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
quando la sabbia inizia a cadere, la bilancia segna una diminuzione del peso dovuta ai granelli in caduta libera (privi di peso). Ma la sabbia inizia a depositarsi con la stessa rapidità con cui cade; quindi il peso scende da $ (M+m)g $ a $ (M+m - \lambda t_1)g $. Ma la sabbia che cade trasferisce un impulso al fondo della clessidra, pari a
$ F = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(mv) = \lambda\sqrt{2gh} $
pari alla diminuzione di peso $ \lambda t_1 g $. Di conseguenza il peso torna, dopo il tempo $ t_1 $ al valore iniziale $ (M+m)g $. Alla fine, la diminuzione di peso termina bruscamente, mentre la forza impulsiva risulta ancora presente, per via dell'ultima sabbia ancora in caduta libera.
Se si considera che, mentre la sabbia cade, il salto diminuisce per il progressivo riempimento della parte inferiore della clessidra, quest'ultima variazione di peso potrebbe anche nn verificarsi.
$ F = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(mv) = \lambda\sqrt{2gh} $
pari alla diminuzione di peso $ \lambda t_1 g $. Di conseguenza il peso torna, dopo il tempo $ t_1 $ al valore iniziale $ (M+m)g $. Alla fine, la diminuzione di peso termina bruscamente, mentre la forza impulsiva risulta ancora presente, per via dell'ultima sabbia ancora in caduta libera.
Se si considera che, mentre la sabbia cade, il salto diminuisce per il progressivo riempimento della parte inferiore della clessidra, quest'ultima variazione di peso potrebbe anche nn verificarsi.
NO, il testo diceva di considerare che ogni granello fa lo stesso salto di altezza h..Phoenix87 ha scritto: Se si considera che, mentre la sabbia cade, il salto diminuisce per il progressivo riempimento della parte inferiore della clessidra, quest'ultima variazione di peso potrebbe anche nn verificarsi.
la parte iniziale a cui ti riferisci è la mia P(t) a parole.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Correggo la soluzione:
Posto $ \Delta t=\sqrt{2h/g} $, $ \Delta m=\lambda \Delta t $ e $ T=m/\lambda $. Ipotesi: Il salto è $ h $ per tutta la sabbia (non c'è accumulo), il tempo di volo è non maggiore della metà del tempo di svuotamento $ 2 \Delta t \le T $.
La misura della bilancia (supposta infinitamente rigida) ha un andamento nel tempo lineare a tratti per i seguenti punti:
$ (0,(M+m)g) $
$ (\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (\Delta t,(M+m)g) $
$ (T-\Delta t,(M+m)g) $
$ (T,(M+m+\Delta m)g) $
$ (T,(M+m)g) $
dopo di che è costante.
In effetti l'impulso totale deve essere nullo perchè il sistema nel suo complesso non varia la quantità di moto dall'inizio al completamento della caduta.
ciao
Posto $ \Delta t=\sqrt{2h/g} $, $ \Delta m=\lambda \Delta t $ e $ T=m/\lambda $. Ipotesi: Il salto è $ h $ per tutta la sabbia (non c'è accumulo), il tempo di volo è non maggiore della metà del tempo di svuotamento $ 2 \Delta t \le T $.
La misura della bilancia (supposta infinitamente rigida) ha un andamento nel tempo lineare a tratti per i seguenti punti:
$ (0,(M+m)g) $
$ (\Delta t,(M+m-\Delta m)g) $
$ (\Delta t,(M+m)g) $
$ (T-\Delta t,(M+m)g) $
$ (T,(M+m+\Delta m)g) $
$ (T,(M+m)g) $
dopo di che è costante.
In effetti l'impulso totale deve essere nullo perchè il sistema nel suo complesso non varia la quantità di moto dall'inizio al completamento della caduta.
ciao
BMcKMas
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