$ a_k=\int \frac {cos(kx)}{\sqrt[2]{|x|}}dx $
L'integrale è tra -pigreco e pigreco,ma non so come si fanno gli integrali definiti,è la prima volta che uso latex,perdonatemi!
Il problema è:la serie che ha come termine generale
$ a_k $ è a quadrato sommabile?
Non credo che si debba risolvere l'integrale,era l'esercizio di un compito e la cosa richiederebbe troppo tempo,penso si debba maggiorare o minorare la serie in qualche modo e usare il teorema del confronto,o capire quanto fa il limite quando k diverge,cosa che permetterebbe di stabilire che la serie non è a quadrato sommabile se questo limite fosse diverso da zero.
Mi aiutate?
serie a quadrato sommabile
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publiosulpicio
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publiosulpicio
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Nota che detto $ b_k=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(kx)}{\sqrt{|x|}} $ si ha $ b_k=0 \; \forall k $, quindi la trasformata di Fourier di $ f=\frac{1}{\sqrt{|x|}} $ appartiene a $ \ell_2 $ se e solo se $ a_k $ è a quadrato sommabile. Tuttavia $ f \not \in L^2 $ e quindi la sua trasformata non può appartenere a $ \ell_2 $. È interessante notare che, come conseguenza del teorema di Hausdorff Young, la serie è $ p $ sommabile per ogni $ p>2 $.
scusa, credo di non aver capito bene.stiamo parlando di serie o di trasformata di fourier?io sapevo che se f(x) appartiene a $ L^2 $ anche la sua trasformata appartiene a $ L^2 $ o comunque la serie appartiene a $ l^2 $ma se f(x) non appartiene a$ L^2 $ c'è un teorema o qualcosa che mi assicura che la trasformata non appartiene a $ L^2 $o che comunque gli $ a_k $non sono in $ l^2 $?
Voleva dire serie. Il fatto è che se la serie è a quadrato sommabile, la sua somma è una funzione L^2 g tale che
$ < g,\cos(kx) >=< x^{-1/2},\cos(kx) > $
per ogni k ... e tale cosa vale anche con i seni. Quindi hai
$ \int(g-x^{-1/2})h dx=0 $ per ogni h L^2 in [-pi,pi]. Quindi anche per h(x)=sgn(g(x)-x^{-1/2}); dunque, h(x)(g(x)-x^{-1/2}) è una funzione L^1 per questa particolare scelta di h (le L^2 sono L^1) su un compatto. Del resto, una funzione L^1 con integrale nullo e positiva è nulla quasi ovunque, dunque nel nostro caso è nulla.
Cmq, senza Fourier, basta dire che
$ a_k=\displaystyle{\int_{-\pi}^\pi\frac{\cos(kx)}{\sqrt{|x|^2}}dx=\frac{2}{\sqrt{k}}\int_{0}^{k\pi}\frac{\cos(y)}{\sqrt{y}}dy $
Questo integrale converge per k che tende a infinito a un numero finito (è praticamente una serie a segni alterni in cui il termine n-esimo è $ \mathcal{O}(n^{-3/2}) $). Dunque si può dire che, per k abbastanza grande
$ a_k\sim \frac{1}{\sqrt{k}} $
e dunque non è a quadrato sommabile.
$ < g,\cos(kx) >=< x^{-1/2},\cos(kx) > $
per ogni k ... e tale cosa vale anche con i seni. Quindi hai
$ \int(g-x^{-1/2})h dx=0 $ per ogni h L^2 in [-pi,pi]. Quindi anche per h(x)=sgn(g(x)-x^{-1/2}); dunque, h(x)(g(x)-x^{-1/2}) è una funzione L^1 per questa particolare scelta di h (le L^2 sono L^1) su un compatto. Del resto, una funzione L^1 con integrale nullo e positiva è nulla quasi ovunque, dunque nel nostro caso è nulla.
Cmq, senza Fourier, basta dire che
$ a_k=\displaystyle{\int_{-\pi}^\pi\frac{\cos(kx)}{\sqrt{|x|^2}}dx=\frac{2}{\sqrt{k}}\int_{0}^{k\pi}\frac{\cos(y)}{\sqrt{y}}dy $
Questo integrale converge per k che tende a infinito a un numero finito (è praticamente una serie a segni alterni in cui il termine n-esimo è $ \mathcal{O}(n^{-3/2}) $). Dunque si può dire che, per k abbastanza grande
$ a_k\sim \frac{1}{\sqrt{k}} $
e dunque non è a quadrato sommabile.
sì ... in pratica ho dimostrato che la serie di fourier di una funzione L^1 converge puntualmente quasi ovunque alla funzione; quindi nel nostro caso la serie deve convergere alla funzione x^{-1/2} e dunque la serie dei coefficienti non può essere a quadrato sommabile perchè altrimenti la funzione x^{-1/2} sarebbe L^2 (e non lo è).