differenze di cubi e tartaglia

[lelletto2000]

Cari amici,
sono nuovo a questo forum. Da modesto dilettante ho fatto un osservazione sul triangolo di Tartaglia che mi ha lasciato interdetto.
Dunque, se calcoliamo la differenza fra i cubi di due numeri interi consecutivi notiamo che essa è sempre esprimibile nella forma 6xt+1, dove t indica il terzo elemento della fila n-sima del triangolo di Tartaglia.

Esempio; il cubo di 5 meno il cubo di 4 è 125 - 64 = 61 = 6x10+1
il cubo di 6 meno il cubo di 5 è 216 - 125 = 91 = 6x15+1
il cubo di 7 meno il cubo di 6 è 343 - 216 = 127 = 6x21+1

e così via. Si crea proprio la successione 1 3 6 10 15 21 del triangolo di Tartaglia.
Qualcuno può spiegarmene la ragione?

Grazie per l'attenzioe lelletto2000

[giove]

Innanzitutto quella successione sono i numeri triangolari (cioè numeri esprimibili come somma dei primi n naturali) e si possono scrivere in questa forma:
$ A_n= \frac {n(n+1)}{2} $
dove $ A_n $ è l'n-esimo numero triangolare.

Quindi tu vuoi dimostrare che
$ (n+1)^3-n^3=6 \frac {n(n+1)}{2}+1 $

Sviluppi e trovi che è vero.

[Marco]

Da modesto dilettante ho fatto un osservazione sul triangolo di Tartaglia che mi ha lasciato interdetto.

Beh... che dire... complimenti per l'occhio.

Spostato in Teoria dei Numeri. M.