Punto di Nagel

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Sepp
Messaggi: 87
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vicenza

Punto di Nagel

Messaggio da Sepp » 16 set 2006, 20:20

Ecco una carrellata di proprietà interessanti che riguardano il punto di Nagel.

(a) L'incentro di un triangolo è punto di Nagel del triangolo dei suoi punti medi.

(b) Incentro (I), baricentro (G) e punto di Nagel (N) sono allineati e tali che $ NG = 2IG $.

(c) Il punto di Nagel è il coniugato isotomico del punto di Gergonne.

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4773
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 18 set 2006, 17:14

Rispondo con qualche hint (non me ne voglia l'autore) per tentare di rianimare la sezione di geometria ...

Suggerirei di iniziare dalla richiesta c), tenendo presente che il coniugato isotomico del punto P (definito dalle ceviane AD, BE, CF) è il punto Q definito dalle ceviane AD',BE', CF', di modo che $ BD=CD'\quad AE=CE'\quad BF=AF' $.

Sarebbe poi carino continuare con il punto b) e il punto a) contemporaneamente, sfruttando la solita omotetia Euler-like; per dimostrare che l'incentro è l'immagine del punto di Nagel, potrebbe essere utile considerare per ogni lato la tangente al cerchio inscritto parallela ad esso e osservare il punto di tangenza.

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
Messaggi: 849
Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
Località: Carrara/Pisa

Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 23 apr 2007, 16:06

c)$ ABC $ è il triangolo, $ I $ il suo incerto, $ \Gamma' $ la circonferenza inscritta e $ \Gamma'' $ quella excritta tangente al lato AB di centro Q. Inoltre sia $ L: BC \cap \Gamma' $, $ F: AC \cap \Gamma' $, $ S: AB \cap \Gamma' $, $ N: AC \cap \Gamma'' $, $ M: BC \cap \Gamma'' $.

Per la congruenza dei vari segmenti di tangenza si ha:

$ CN = CM $ e $ EC = CD $ quindi $ FN = LM $
$ 2LM = LM + FN = LB + BM + FA + AN = $$ SB + RB + AR + AS = 2AB $
quindi $ LM = FN = AB $ inoltre $ BM + LB = AR + RB $$ \Longrightarrow $$ AR = LB = BS $
E quindi essendo R e S simmetrici rispetto al punto medio di AB Il punto di Nagel è il coniugato isotomico del punto di Gergonne.

Inoltre dall'omotetia di circonferenza inscritta e exscritta di centro C si deducono altri fatti interessanti:
Chiamiamo $ P $ il simmetrico si $ S $ rispetto a $ I $ e $ T $ il simmetrico di $ R $ rispetto a $ Q $.
I centri di $ \Gamma' $ e $ \Gamma'' $ sono all'ineati sulla bisettrice di $ \angle ACB $ e i diametri $ PS $ e $ RT $ sono perpendicolari perchè entrambi passanti per il punto di tangenza alla tangente in comune $ RS $. Quindi $ C, P, R $ e $ A, S, T $ sono all'ineati per omotetia. Ma quindi le ceviane del punto di Nagel passano anche per i simmetrici del punti di tangenza della circonferenza inscritta rispetto a I poichè il procedimento è ripetibile su tutti i lati.

Immagine

a)già dimostrato da Enomis qui :P

b) conseguenza banale della a) infatti se consideriamo la solita omotetia di fattore $ - \frac{1}{2} $ e centro il baricentro $ G $ di ABC i vertici del triangolo vanno in quelli di quello mediale e l'incentro di ABC va in quello mediale.
Ma come detto nella a) l'incentro di ABC è il punto di Gergonne del mediale.

Rispondi