Sequenze di Mersenne 2 - una forte caratterizzazione
Sequenze di Mersenne 2 - una forte caratterizzazione
Sia $ ~ a_1,a_2,\ldots $ una sequenza di Mersenne, cioè una sequenza di interi positivi tale che:
$ ~ \mbox{gcd}(a_m,a_n) = a_{\mbox{gcd}(m,n)} $ per ogni m,n interi positivi.
Dimostrare che esiste una sequenza di interi positivi $ ~b_1, b_2,\ldots $ tale che per ogni n:
$ ~ \displaystyle a_n = \prod_{d \mid n} b_d $
$ ~ \mbox{gcd}(a_m,a_n) = a_{\mbox{gcd}(m,n)} $ per ogni m,n interi positivi.
Dimostrare che esiste una sequenza di interi positivi $ ~b_1, b_2,\ldots $ tale che per ogni n:
$ ~ \displaystyle a_n = \prod_{d \mid n} b_d $
tanto forte quanto banale...
EDIT: va', che ci ripenso!edriv ha scritto:Sia $ ~ a_1,a_2,\ldots $ una sequenza di Mersenne, cioè una sequenza di interi positivi tale che: $ ~ \mbox{gcd}(a_m,a_n) = a_{\mbox{gcd}(m,n)} $ per ogni m,n interi positivi. Dimostrare che esiste una sequenza di int. pos. $ ~b_1, b_2,\ldots $ t.c. per ogni n: $ ~ \displaystyle a_n = \prod_{d \mid n} b_d $
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 28 mag 2007, 16:07, modificato 2 volte in totale.
Per me non è affatto banale!
Però $ b_{mn} = a_{mn}/(a_m \cdot a_n) $ sicuro che sia intero?
Però.. anche fosse $ b_{mn} = (a_m \cdot a_n)/a_{mn} $ mi pare che non funzioni ....
Dovrebbe essere sufficiente un controesempio con le successioni $ a_n = kn $ che, se l'ora tarda non mi fa dire scemate, sono di Mersenne.
Però $ b_{mn} = a_{mn}/(a_m \cdot a_n) $ sicuro che sia intero?
Però.. anche fosse $ b_{mn} = (a_m \cdot a_n)/a_{mn} $ mi pare che non funzioni ....
Dovrebbe essere sufficiente un controesempio con le successioni $ a_n = kn $ che, se l'ora tarda non mi fa dire scemate, sono di Mersenne.
Se $ m, n \in \mathbb{N}^+ $ e $ \gcd(m,n) = 1 $, allora nondimeno $ \gcd(a_m, a_n) = 1 $. Senonché $ \gcd(a_{mn}, a_m) = a_m $ e $ \gcd(a_{mn}, a_n) = a_n $. Dunque $ a_m \cdot a_n $ divide $ a_{mn} $. C'era comunque un errore - ho editato.albert_K ha scritto:Per me non è affatto banale! Però $ b_{mn} = a_{mn}/(a_m \cdot a_n) $ sicuro che sia intero?
E oggi è mercoledì...
Bello questo problema. Chi è la fonte?
Questa soluzione ripassa due teoremini che capita di usare poco spesso in ambito olimpico.
Fomula di inversione di Moebius: Sia $ \left( f_n \right)_{n \geqslant 1} $ una successione di numeri reali. Se la successione $ \left( g_n \right)_{n \geqslant 1} $ è definita da:
$ $g_n = \sum_{d \mid n} f_d $,
allora
$ $f_n = \sum_{d \mid n} \mu(d) g_{n/d} $,
dove $ \mu(n) $ è la funzione di Moebius, che vale $ 0 $, se $ n $ non è libero da quadrati; $ 1 $ se $ n $ è il prodotto di un numero pari [eventualmente 0] di primi distinti; $ -1 $ se $ n $ è il prodotto di un numero dispari di primi distinti.
Formula per il Minimo Comune Multiplo: Sia $ A $ un insieme non vuoto di numeri naturali positivi; indichiamo con $ (A) $ e $ [A] $ il MCD e il mcm degli elementi di $ A $ rispettivamente. Allora
$ $[A] = \prod_{B \subseteq A; B \neq \emptyset} (B)^{(-1)^{|B|+1}}. $
Questa si dimostra semplicemente con il PIE applicato agli insiemi con molteplicità dei divisori degli elementi di $ A $. Giusto per rendere intellegibile la formula, scrivo a mo' di esempio i casi con 2, 3, 4 elementi.
$ [a, b] = \frac{ a b }{ (a,b) } $
$ [a, b, c] = \frac{ a b c (a,b,c) }{ (a,b) (a,c) (b,c) } $
$ [a, b, c, d] = \frac{ a b c d (a,b,c) (a,b,d) (a,c,d), (b,c,d)}{ (a,b) (a,c) (b,c), (a,d), (b,d), (c,d) (a,b,c,d) } $
E veniamo alla soluzione.
Lemma 1: Se $ m \mid n $, allora $ a_m \mid a_n $.
Dim.: $ \left( a_m, a_n \right) = a_{(m,n)} = a_m $. []
Sol.: La Formula di Moebius, applicata ai logaritmi degli $ a $ e dei $ b $, ci dice che, affinché gli $ a_n $ verifichino la relazione $ a_n = \prod_{d \mid n} b_d $, deve essere
$ $b_n = \prod_{d \mid n} a_{(n/d)}^{\mu(d)} $. (1)
$ b_n $ è chiaramente un numero razionale. La nostra tesi è che sia anche intero.
Sia $ P $ l'insieme dei divisori primi di $ n $. Se $ Q \subseteq P $, indico con $ n/Q $ l'intero
$ \frac{n}{\prod_{p \in Q} p} $.
Lemma 2: $ ( n/{Q_1}, n/{Q_2} ) = n/(Q_1 \cup Q_2) $.
Dim: Ovvia. []
Applico la formula del mcm ai numeri $ a_{n/p} $, al variare di $ p \in P $:
$ $[a_{n/p}]_{p \in P} = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} (a_{n/p})_{p \in Q} ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Per ipotesi, $ \left( a_n \right) $ è di Mersenne, quindi
$ $\dots = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} a_{ (n/p)_{p \in Q} } ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Applico il Lemma 2:
$ $\dots = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} a_{ n/Q } ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Infine, noto che, se $ d $ è un divisore di $ n $ libero da quadrati e $ Q $ è l'insieme dei suoi divisori primi, $ (-1)^{|Q|} = \mu \left( \prod_{p \in Q} p \right) = \mu(d) $; mentre se $ d $ è un divisore di $ n $ non libero da quadrati, ovviamente $ \mu(d) = 0 $.
Ne segue che:
$ $\dots = \prod_{d | n; d \neq n} a_{ n/d } ^ {-\mu(d)}. $
Ma allora la (1) diventa semplicemente:
$ $b_n = \frac{a_n}{[a_{n/p}]_{p \in P}} $.
Ora, per il Lemma 1, per ogni $ p \in P $, $ a_{n/p} \mid a_n $, quindi, in particolare anche il loro mcm deve dividere $ a_n $, perciò $ b_n $ è intero. []
Bello questo problema. Chi è la fonte?
Questa soluzione ripassa due teoremini che capita di usare poco spesso in ambito olimpico.
Fomula di inversione di Moebius: Sia $ \left( f_n \right)_{n \geqslant 1} $ una successione di numeri reali. Se la successione $ \left( g_n \right)_{n \geqslant 1} $ è definita da:
$ $g_n = \sum_{d \mid n} f_d $,
allora
$ $f_n = \sum_{d \mid n} \mu(d) g_{n/d} $,
dove $ \mu(n) $ è la funzione di Moebius, che vale $ 0 $, se $ n $ non è libero da quadrati; $ 1 $ se $ n $ è il prodotto di un numero pari [eventualmente 0] di primi distinti; $ -1 $ se $ n $ è il prodotto di un numero dispari di primi distinti.
Formula per il Minimo Comune Multiplo: Sia $ A $ un insieme non vuoto di numeri naturali positivi; indichiamo con $ (A) $ e $ [A] $ il MCD e il mcm degli elementi di $ A $ rispettivamente. Allora
$ $[A] = \prod_{B \subseteq A; B \neq \emptyset} (B)^{(-1)^{|B|+1}}. $
Questa si dimostra semplicemente con il PIE applicato agli insiemi con molteplicità dei divisori degli elementi di $ A $. Giusto per rendere intellegibile la formula, scrivo a mo' di esempio i casi con 2, 3, 4 elementi.
$ [a, b] = \frac{ a b }{ (a,b) } $
$ [a, b, c] = \frac{ a b c (a,b,c) }{ (a,b) (a,c) (b,c) } $
$ [a, b, c, d] = \frac{ a b c d (a,b,c) (a,b,d) (a,c,d), (b,c,d)}{ (a,b) (a,c) (b,c), (a,d), (b,d), (c,d) (a,b,c,d) } $
E veniamo alla soluzione.
Lemma 1: Se $ m \mid n $, allora $ a_m \mid a_n $.
Dim.: $ \left( a_m, a_n \right) = a_{(m,n)} = a_m $. []
Sol.: La Formula di Moebius, applicata ai logaritmi degli $ a $ e dei $ b $, ci dice che, affinché gli $ a_n $ verifichino la relazione $ a_n = \prod_{d \mid n} b_d $, deve essere
$ $b_n = \prod_{d \mid n} a_{(n/d)}^{\mu(d)} $. (1)
$ b_n $ è chiaramente un numero razionale. La nostra tesi è che sia anche intero.
Sia $ P $ l'insieme dei divisori primi di $ n $. Se $ Q \subseteq P $, indico con $ n/Q $ l'intero
$ \frac{n}{\prod_{p \in Q} p} $.
Lemma 2: $ ( n/{Q_1}, n/{Q_2} ) = n/(Q_1 \cup Q_2) $.
Dim: Ovvia. []
Applico la formula del mcm ai numeri $ a_{n/p} $, al variare di $ p \in P $:
$ $[a_{n/p}]_{p \in P} = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} (a_{n/p})_{p \in Q} ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Per ipotesi, $ \left( a_n \right) $ è di Mersenne, quindi
$ $\dots = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} a_{ (n/p)_{p \in Q} } ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Applico il Lemma 2:
$ $\dots = \prod_{Q \subseteq P; Q \neq \emptyset} a_{ n/Q } ^ {(-1)^{|Q|+1}} = \dots $
Infine, noto che, se $ d $ è un divisore di $ n $ libero da quadrati e $ Q $ è l'insieme dei suoi divisori primi, $ (-1)^{|Q|} = \mu \left( \prod_{p \in Q} p \right) = \mu(d) $; mentre se $ d $ è un divisore di $ n $ non libero da quadrati, ovviamente $ \mu(d) = 0 $.
Ne segue che:
$ $\dots = \prod_{d | n; d \neq n} a_{ n/d } ^ {-\mu(d)}. $
Ma allora la (1) diventa semplicemente:
$ $b_n = \frac{a_n}{[a_{n/p}]_{p \in P}} $.
Ora, per il Lemma 1, per ogni $ p \in P $, $ a_{n/p} \mid a_n $, quindi, in particolare anche il loro mcm deve dividere $ a_n $, perciò $ b_n $ è intero. []
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Non mi sembra giusto che un problema abbia solo soluzioni pulite, per cui metto anche la mia (sullo stile della puntata precedente delle sequenze di Mersenne):
Supponiamo che per un certo valore di n, esiste una serie in cui si puo' fare la serie di b fino a $ b_{n-1} $ e poi ci si blocca.
Tra le serie per cui cio' accade, scelgo quella che minimizza il prodotto dei primi n termini.
Ora, per $ 1\le i\le n-1 $ si ha che $ b_i=1 $ altrimenti potrei porre $ b_i=1 $, dividere tutti gli $ a_{ki} $ per il $ b_i $ che c'era prima e ottenere una serie con prodotto minore (in cui, ovviamente, ancora non riesco a fare l'n-simo termine, perche', se i|n, ho diviso $ a_n $ tanto quanto ho diviso il prodotto dei b che non deve dividerlo, se $ i\nmid n $ non ho alterato nessuno dei 2).
Quindi la nostra negazione della tesi passa da cosi':
$ ~ \displaystyle \prod_{d \mid n} b_d \nmid a_nb_n $
a cosi':
$ 1\nmid a_n $
Supponiamo che per un certo valore di n, esiste una serie in cui si puo' fare la serie di b fino a $ b_{n-1} $ e poi ci si blocca.
Tra le serie per cui cio' accade, scelgo quella che minimizza il prodotto dei primi n termini.
Ora, per $ 1\le i\le n-1 $ si ha che $ b_i=1 $ altrimenti potrei porre $ b_i=1 $, dividere tutti gli $ a_{ki} $ per il $ b_i $ che c'era prima e ottenere una serie con prodotto minore (in cui, ovviamente, ancora non riesco a fare l'n-simo termine, perche', se i|n, ho diviso $ a_n $ tanto quanto ho diviso il prodotto dei b che non deve dividerlo, se $ i\nmid n $ non ho alterato nessuno dei 2).
Quindi la nostra negazione della tesi passa da cosi':
$ ~ \displaystyle \prod_{d \mid n} b_d \nmid a_nb_n $
a cosi':
$ 1\nmid a_n $
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Figata!
Metto anche la mia: osserviamo che se
$ ~ a_n = \prod_{d\mid n} b_d $
e $ ~ a_n $ è una sequenza di Mersenne, allora $ ~ (b_i,b_j) \neq 1\Rightarrow i\mid j \lor j \mid i $.
Anzi, per ogni sequenza $ ~b_i $ con quest'ultima proprietà, $ ~ a_n = \prod_{d\mid n} b_d $ è una sequenza di Mersenne, noi vogliamo dimostrare il viceversa.
Supponiamo di avere già costruito la successione $ ~ b_i $ per tutti gli i che dividono strettamente n, e troviamo anche $ ~ b_n = \frac{a_n}{\prod_{d\mid n, d \neq n} b_d} $. Basta dimostrare che:
$ ~ \prod_{d\mid n, d \neq n} b_d \mid a_n $.
Ora, consideriamo il reticolo dei divisori stretti di n, e a ogni nodo d associamo $ ~ b_d $. Noi vorremmo che il prodotto di tutti i nodi divida $ ~ a_n $. Però sappiamo solo, ad esempio, che il prodotto di tutti i nodi di una catena divide $ ~ a_n $, questo perchè $ ~ d\mid n \Rightarrow a_d \mid a_n $.
Sappiamo anche che $ ~ (b_i,b_j) \neq 1\Rightarrow i\mid j \lor j \mid i $, questo vuol dire che, dato un primo p, i multipli di p in questo reticolo formano una catena. Ma quindi è finita. (la soluzione, non la catena, anzi, anche la catena)
Per ogni primo p che divide $ ~ a_n $, consideriamo tutti i b_i (con i che divide strettamente n) tali che p divide b_i, detto b_k il massimo di questi, per il lemma prima sono tutti divisori di k. (non tutti i divisori)
Quindi l'esponente di p che divide $ ~ \prod_{d\mid n, d \neq n} b_d $ è uguale all'esponente di p che divide $ ~ a_k $ che è minore o uguale all'esponente di p che divide a_n
Comunque wow, addirittura 3 soluzioni a due a due distinte!
Metto anche la mia: osserviamo che se
$ ~ a_n = \prod_{d\mid n} b_d $
e $ ~ a_n $ è una sequenza di Mersenne, allora $ ~ (b_i,b_j) \neq 1\Rightarrow i\mid j \lor j \mid i $.
Anzi, per ogni sequenza $ ~b_i $ con quest'ultima proprietà, $ ~ a_n = \prod_{d\mid n} b_d $ è una sequenza di Mersenne, noi vogliamo dimostrare il viceversa.
Supponiamo di avere già costruito la successione $ ~ b_i $ per tutti gli i che dividono strettamente n, e troviamo anche $ ~ b_n = \frac{a_n}{\prod_{d\mid n, d \neq n} b_d} $. Basta dimostrare che:
$ ~ \prod_{d\mid n, d \neq n} b_d \mid a_n $.
Ora, consideriamo il reticolo dei divisori stretti di n, e a ogni nodo d associamo $ ~ b_d $. Noi vorremmo che il prodotto di tutti i nodi divida $ ~ a_n $. Però sappiamo solo, ad esempio, che il prodotto di tutti i nodi di una catena divide $ ~ a_n $, questo perchè $ ~ d\mid n \Rightarrow a_d \mid a_n $.
Sappiamo anche che $ ~ (b_i,b_j) \neq 1\Rightarrow i\mid j \lor j \mid i $, questo vuol dire che, dato un primo p, i multipli di p in questo reticolo formano una catena. Ma quindi è finita. (la soluzione, non la catena, anzi, anche la catena)
Per ogni primo p che divide $ ~ a_n $, consideriamo tutti i b_i (con i che divide strettamente n) tali che p divide b_i, detto b_k il massimo di questi, per il lemma prima sono tutti divisori di k. (non tutti i divisori)
Quindi l'esponente di p che divide $ ~ \prod_{d\mid n, d \neq n} b_d $ è uguale all'esponente di p che divide $ ~ a_k $ che è minore o uguale all'esponente di p che divide a_n
Comunque wow, addirittura 3 soluzioni a due a due distinte!
Ultima modifica di edriv il 25 giu 2007, 21:50, modificato 1 volta in totale.
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piever, uomo dalle poche parole...
sei sicuro che dividendo per $ b_i $ rimane ancora una sequenza di Mersenne? Non è così ovvio... Cioè sono sicuro che per te magari è ovvio ma magari bisognerebbe spenderci 2 parole
Anche spiegare cosa vuol dire per te che riesco a costruire la serie dei b fino a n-1... Guardo solo i primi n-1 termini di $ a_k $ o anche quelli dopo ?
sei sicuro che dividendo per $ b_i $ rimane ancora una sequenza di Mersenne? Non è così ovvio... Cioè sono sicuro che per te magari è ovvio ma magari bisognerebbe spenderci 2 parole
Anche spiegare cosa vuol dire per te che riesco a costruire la serie dei b fino a n-1... Guardo solo i primi n-1 termini di $ a_k $ o anche quelli dopo ?
Spettacolare la soluzione di edriv
A parte gli scherzi, dividendo tutti i multipli di i per una costante cosa succede?
Se x e y non sono multipli di i, allora (sia A' la sequenza A modificata):
$ (a'_x,a'_y)=(a_x,a_y)=a_{(x,y)}=a'_{(x,y)} $ (sostanzialmente non ho cambiato nulla)
Se x e' un multiplo di i, e y non lo e', allora:
$ (a'_x,a'_y)=(a_x,a_y)=a_{(x,y)}=a'_{(x,y)} $ (:P)
Ma forse qui servono alcune parole, direbbe il Lupo Pescarese.
Il gcd sicuramente non aumenta passando dalla serie originale a quella modificata. Diminuisce? No, perche, posto $ ((x,y),i)=g $ (solo per comodita' di notazione), abbiamo:
$ \displaystyle (a_{(x,y)},a'_i)=\prod_{d|g} b_d=a_g $ (ovviamente $ i\nmid y\Rightarrow i\nmid (x,y)\Rightarrow i\nmid ((x,y),i) $)
Quindi:
$ \displaystyle a_{(x,y)}|a_x\wedge a_i|a_x\Rightarrow \frac{a_{(x,y)}a_i}{a_g}|a_x\Rightarrow \frac{a_{(x,y)}a'_i}{a_g}|a'_x\Rightarrow a_{(x,y)}|a'_x $
Se invece sia x sia y sono multipli di i si ha:
$ \displaystyle (a'_x,a'_y)=(\frac{a_x}{b_i},\frac{a_y}{b_i})=\frac{a_{(x,y)}}{b_i}=a'_{(x,y)} $
Lol, segue facilmente dal fatto che 2 e' un generatore modulo 5^k...Simo_the_wolf ha scritto:sei sicuro che dividendo per $ b_i $ rimane ancora una sequenza di Mersenne?
A parte gli scherzi, dividendo tutti i multipli di i per una costante cosa succede?
Se x e y non sono multipli di i, allora (sia A' la sequenza A modificata):
$ (a'_x,a'_y)=(a_x,a_y)=a_{(x,y)}=a'_{(x,y)} $ (sostanzialmente non ho cambiato nulla)
Se x e' un multiplo di i, e y non lo e', allora:
$ (a'_x,a'_y)=(a_x,a_y)=a_{(x,y)}=a'_{(x,y)} $ (:P)
Ma forse qui servono alcune parole, direbbe il Lupo Pescarese.
Il gcd sicuramente non aumenta passando dalla serie originale a quella modificata. Diminuisce? No, perche, posto $ ((x,y),i)=g $ (solo per comodita' di notazione), abbiamo:
$ \displaystyle (a_{(x,y)},a'_i)=\prod_{d|g} b_d=a_g $ (ovviamente $ i\nmid y\Rightarrow i\nmid (x,y)\Rightarrow i\nmid ((x,y),i) $)
Quindi:
$ \displaystyle a_{(x,y)}|a_x\wedge a_i|a_x\Rightarrow \frac{a_{(x,y)}a_i}{a_g}|a_x\Rightarrow \frac{a_{(x,y)}a'_i}{a_g}|a'_x\Rightarrow a_{(x,y)}|a'_x $
Se invece sia x sia y sono multipli di i si ha:
$ \displaystyle (a'_x,a'_y)=(\frac{a_x}{b_i},\frac{a_y}{b_i})=\frac{a_{(x,y)}}{b_i}=a'_{(x,y)} $
Nono, basta che guardi i termini della serie fino al (n-1)-esimo. Posso ipotizzare che fino a quel punto riesco a costruire la serie dei b_iSimo_the_wolf ha scritto:Anche spiegare cosa vuol dire per te che riesco a costruire la serie dei b fino a n-1... Guardo solo i primi n-1 termini di $ a_k $ o anche quelli dopo ?
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Non mi e' del tutto chiaro che dividendo tutti i termini di posto $ ki $ di una successione di Mersenne si ottenga ancora una successione di Mersenne. Ad esempio, se divido tutti i termini di posto $ 4k $ per $ a_4 $, lasciando gli altri inalterati, ottengo una successione con $ a'_4=1 $ e $ a'_2=a_2 $, e dunque non si ha $ (a'_4,a'_2)=a'_2 $ a meno che non si avesse gia' $ a_2=1 $.
Tuttavia l'argomento di piever mi sembra funzionare, basta fare le cose con ordine e dividere il piu' possibile: prima si dividono tutti i termini per $ a_1 $, poi tutti i termini di posto pari della successione $ a'_n $ per $ a'_2 $, poi tutti i termini di posto $ 3i $ della successione $ a''_n $ per $ a''_3 $, e cosi' via. In questo modo si dovrebbe ottenere effettivamente una successione di Mersenne con tutti i primi termini uguali ad 1, mediante riduzioni successive a partire da una qualunque successione di Mersenne data.
Tuttavia l'argomento di piever mi sembra funzionare, basta fare le cose con ordine e dividere il piu' possibile: prima si dividono tutti i termini per $ a_1 $, poi tutti i termini di posto pari della successione $ a'_n $ per $ a'_2 $, poi tutti i termini di posto $ 3i $ della successione $ a''_n $ per $ a''_3 $, e cosi' via. In questo modo si dovrebbe ottenere effettivamente una successione di Mersenne con tutti i primi termini uguali ad 1, mediante riduzioni successive a partire da una qualunque successione di Mersenne data.
I'm the best there is at what I do. But what I do best isn't very nice.
Non ti e' chiaro perche' e' falso.wolverine ha scritto:Non mi e' del tutto chiaro che dividendo tutti i termini di posto $ ki $ di una successione di Mersenne si ottenga ancora una successione di Mersenne.
Sospiro di sollievo, ogni tanto quando rivedo qualche mio vecchio post mi accorgo di aver scritto cose assurde...wolverine ha scritto:Tuttavia l'argomento di piever mi sembra funzionare.
Nel post immediatamente precedente al tuo ho scritto una dimostrazione del perche' posso fare quello che ho fatto (ne ho scritte due a dire il vero, ma quella del generatore modulo 5 era una battuta...). Comunque anche il tuo sistema funziona...wolverine ha scritto:basta fare le cose con ordine e dividere il piu' possibile: prima si dividono tutti i termini per $ a_1 $, poi tutti i termini di posto pari della successione $ a'_n $ per $ a'_2 $, poi tutti i termini di posto $ 3i $ della successione $ a''_n $ per $ a''_3 $, e cosi' via. In questo modo si dovrebbe ottenere effettivamente una successione di Mersenne con tutti i primi termini uguali ad 1, mediante riduzioni successive a partire da una qualunque successione di Mersenne data.
ciaociao
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