France TST 2007 numeri 2 e 5

[cerise]

Ecco due esercizi del test francese per selezionare la squadra delle OIM. Se non capite, posso fare una traduzione.

Exercice 2 :

a, b, c et d sont des réels strictement positifs tels que $ a+b+c+d=1 $.

Montrer que :
$ 6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 )\geq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \frac{1}{8} $


Exercice 5 :

Trouver toutes les fonctions $ f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} $ telles que
$ f(x-y+f(y))=f(x) + f(y) $.

[Sisifo]

Ehi! Ma l'esercizio 5 è identico all'esercizio 3 del TST italiano dell'anno scorso.. Mmmmm

[exodd]

purtroppo sono arrivato solo alla conclusione che:
6(a^3+b^3+c^3+d^3)<=6
a^2+b^2+c^2+d^2+1/8<=9/8
quindi
6(a^3+b^3+c^3+d^3)<=a^2+b^2+c^2+d^2+29/4

[marco-daddy]

Visto che Salva mi ha cacciato vengo qua...dunque

exercice 2:


$ \displaystyle 6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 )\geq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \frac{1}{8} $


$ \displaystyle\frac{1}{8}=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8} $
$ \displaystyle\sum_{sym}{a^3}\geq a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8} $
$ \displaystyle{8}\sum_{sym}{a^3}\geq{8}\left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \right)+ \left(a+b+c+d\right)^2 $
$ \displaystyle{8}\sum_{sym}{a^3}\geq{9}\left( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \right)+ \frac{1}{2}\sum_{sym}{ab} $

Moltiplico per $ a+b+c+d $ a destra

$ \displaystyle{8}\sum_{sym}{a^3}\geq\frac{3}{2}\sum_{sym}{a^3}+\frac{11}{2}\sum_{sym}{a^2}{b}+\sum_{sym}{abc} $


$ \displaystyle{13}\sum_{sym}{a^3}\geq{11}\sum_{sym}{a^2}{b}+{2}\sum_{sym}{abc} $

Vera per bunching

[edriv]

Oppure:
$ ~ 4(a^3+b^3+c^3+d^3) \ge (a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) $ per Chebyshev
$ ~ 2(a^3+b^3+c^3+d^3) \ge \frac{(a+b+c+d)^3}8 $ per AM-GM

[Boll]

Ma è passata la moda??? Come mai per il problema 2 nessuno prova ad usare i cari moltiplicatori di Lagrange