chiedo il vostro aiuto per risolvere questo esercizio dell'ammissione sns 2005/2006
Sia $ \var f(x)=\(x^2+ax+b $ con a,b numeri reali
1) Mostrare che esiste $ \(x_0 $ nell'intervallo [-1,1] tale che │f(x)│≥1/2.
2) Mostrare anche che, se │f(x)│≤1/2 per ogni x nell'intervallo, allora $ \var f(x)=\(x^2-1/2 $.
vi ringrazio in anticipo per le risposte.............
sns 2005/2006 #5
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pic88
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- Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...
Allora, la cosa è una parabola con verice in $ -a/2; -3/4a^2+b $, ed assume negli estremi di [-1,1] i valori $ 1+a+b $ e $ 1-a+b $.
L'ampiezza massima dell'intervallo delle immagini in [-1;1] è
$ max\{|(1+a+b)-(1-a+b)|,|(1+a+b)-(-3/4a^2+b)|, $$ |(1-a+b)-(-3/4a^2+b)|\} $
$ =max\{|-2a|,|-3/4a^2+a+1|,|-3/4a^2-a+1|\} $
e si vede che tale ampiezza è maggiore o uguale a 1, allora l'intervallo non può essere contenuto in [-1/2;1/2].
EDIT(grazie Zok): Si osservi che la condizione affinchè il vertice sia in [-1,1] è che |-a/2|<1, se non è soddisfatta si ha che |2a|>1 e ci siamo.
L'ampiezza massima dell'intervallo delle immagini in [-1;1] è
$ max\{|(1+a+b)-(1-a+b)|,|(1+a+b)-(-3/4a^2+b)|, $$ |(1-a+b)-(-3/4a^2+b)|\} $
$ =max\{|-2a|,|-3/4a^2+a+1|,|-3/4a^2-a+1|\} $
e si vede che tale ampiezza è maggiore o uguale a 1, allora l'intervallo non può essere contenuto in [-1/2;1/2].
EDIT(grazie Zok): Si osservi che la condizione affinchè il vertice sia in [-1,1] è che |-a/2|<1, se non è soddisfatta si ha che |2a|>1 e ci siamo.
Ultima modifica di pic88 il 17 lug 2007, 13:08, modificato 1 volta in totale.
