Tensione del filo in un pendolo

[Boll]

Dimostrare che, per piccole oscillazioni, la tensione nel punto più in basso di un pendolo è $ mg(1+\theta^2) $ dove $ \theta $ è la massima oscillazione dalla verticale.

[TADW_Elessar]

Il pendolo ha lunghezza $ ~L $. Quando parte, ad un angolo $ ~\theta $ dalla verticale, si trova ad un'altezza $ ~L(1-\cos \theta) $ sopra il punto più basso della sua traiettoria, che sarà per noi $ ~y=0 $.

Quando raggiungerà tale punto, tutta la sua energia potenziale gravitazionale si sarà trasformata in energia cinetica:

$ \displaystyle \frac{1}{2}mv^2 = mgL(1-\cos \theta) $

$ \displaystyle v^2 = 2gL(1-\cos \theta) $

Mentre ricordiamo questo risultato, notiamo anche che nel punto più basso della traiettoria circolare di raggio L, la somma delle forze agenti sulla massa in oscillazione deve essere uguale alla forza centripeta:

$ \displaystyle F_{cp} = m\frac{v^2}{L} = T - mg $

Sostituendo il valore di $ ~v^2 $ calcolato in precedenza e riordinando:

$ \displaystyle T = mg [ 2(1- \cos \theta) +1 ] $

Ora, visto che si tratta di piccole oscillazioni, possiamo sostituire il coseno con il suo polinomio di Taylor, fermandoci ai primi due termini:

$ \displaystyle \cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2} + \cdots \qquad (\mbox{per }\theta \ll 1) $

$ \displaystyle T = mg \left[ 2 \left(1 - 1 + \frac{\theta^2}{2}\right) +1 \right] $

da cui si ricava immediatamente:

$ \displaystyle T = mg(1 + \theta^2) $

quod erat demonstrandum.