Fisica sns o geometria da senior?
- enomis_costa88
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Fisica sns o geometria da senior?
Due sfere di raggio R e uniformemente cariche con densità di carica opposta hanno una distanza tra i due centri $ d< 2R $.
Si mostri che il campo elettrico all'interno della regione di sovrapposizione delle due sfere è uniforme e proporzionale a d.
Davvero carinissimo questo problema (sns 2006), potevo quasi postarlo in geometria
Si mostri che il campo elettrico all'interno della regione di sovrapposizione delle due sfere è uniforme e proporzionale a d.
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Potremmo partire dal fatto che:
Detto $ ~E_+ $ il campo dovuto alla sfera con carica positiva a distanza $ ~r_+ $ ed $ ~E_- $ il campo dovuto alla carica negativa a distanza $ ~r_- $, e $ ~\rho $ la carica per unità di volume, e considerando che i vettori campo elettrico e area sono in ogni punto perpendicolari e che E è costante su una superficie sferica:
$ \displaystyle \varepsilon_0 \cdot E_+ \cdot 4\pi r_+^2 = \frac{4}{3} \pi r_+^3 \cdot \rho $
$ \displaystyle \vec{E_+} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_+} $
e, ovviamente, anche:
$ \displaystyle \vec{E_-} = -\frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_-} $
Per cui nella zona d'intersezione:
$ \displaystyle \vec{E} = \vec{E_+} -\vec{E_-} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r_+} - \vec{r_-}) $
Ma, per ogni punto nello spazio, $ \vec{r_+} - \vec{r_-} $ è la distanza $ ~d $ tra i centri delle sfere. Quod erat demonstrandum.
Detto $ ~E_+ $ il campo dovuto alla sfera con carica positiva a distanza $ ~r_+ $ ed $ ~E_- $ il campo dovuto alla carica negativa a distanza $ ~r_- $, e $ ~\rho $ la carica per unità di volume, e considerando che i vettori campo elettrico e area sono in ogni punto perpendicolari e che E è costante su una superficie sferica:
$ \displaystyle \varepsilon_0 \cdot E_+ \cdot 4\pi r_+^2 = \frac{4}{3} \pi r_+^3 \cdot \rho $
$ \displaystyle \vec{E_+} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_+} $
e, ovviamente, anche:
$ \displaystyle \vec{E_-} = -\frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_-} $
Per cui nella zona d'intersezione:
$ \displaystyle \vec{E} = \vec{E_+} -\vec{E_-} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r_+} - \vec{r_-}) $
Ma, per ogni punto nello spazio, $ \vec{r_+} - \vec{r_-} $ è la distanza $ ~d $ tra i centri delle sfere. Quod erat demonstrandum.
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Già alla fine la cosa più difficile è accorgersi che si lavora con vettori (per questo è più geometria che altro ) il resto è un banale gauss.TADW_Elessar ha scritto:Ma, per ogni punto nello spazio, $ \vec{r_+} - \vec{r_-} $ è la distanza $ ~d $ tra i centri delle sfere.
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Rilancio con un problema moooolto simile (ok sempre una cavolata è)
Sia considerato un contenuitore cilindrico di raggio a in cui è praticato un lungo foro di raggio b.
Gli assi dei due cilindri sono paralleli e posti ad una distanza d.
Una corrente i è uniformemente distribuita sull'area della sezione trasversale appartenente solo al cilindro di raggio a (insomma i è distruibuita sul cilindro meno che nel buco).
Determinare il campo magnetico all'interno del foro.
Buon lavoro!
Sia considerato un contenuitore cilindrico di raggio a in cui è praticato un lungo foro di raggio b.
Gli assi dei due cilindri sono paralleli e posti ad una distanza d.
Una corrente i è uniformemente distribuita sull'area della sezione trasversale appartenente solo al cilindro di raggio a (insomma i è distruibuita sul cilindro meno che nel buco).
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No non è 0 ( e si risolve in modo molto analogo al precedente) .. la situazione è questa:
Hai un cilindro pieno con un buco cilindrico dentro..e la corrente non passa nel buco cilindrico, nel resto del cilindro la densità di corrente è omogenea.
Buon lavoro!
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Si..hai sciolto l'integrale in modo sbagliato direi..stai applicando una simmetria che non c'è nella situazione in esame i centri dei due cilindri non sono gli stessi (sono a distanza d come detto prima).Quindi nel cilindrettino il B non è necessariamente in direzione radiale.TADW_Elessar ha scritto:dovrebbe seguire immediatamente $ ~B = 0 $. Mi sono perso qualcosa?
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