SNS 2007-2008/3

[Ponnamperuma]

Bah, lo butto qua come matematizzazione o matematica finanziaria... per lo più, comunque perchè "combinatoria" raccoglie "tutto il resto"!

Ci sono due banche, A e B. La banca A pratica un tasso di interesse del 12%, la B dell'8%. Un tale ha bisogno di 1000€. Li chiede alla banca A il 1/1/2007. Un anno dopo ne ha messi da parte solo 100. Così dà quei 100 alla banca A, e copre la differenza facendosi fare un congruo prestito dalla banca B (fate i conti, comunque sono 1020€). Siamo al 1/1/2008. Al 1/1/2009 di nuovo il tale ha risparmiato soli 100€, li dà alla banca B e si fa dare in prestito dalla banca A la differenza. Procede poi così... truffaldinamente!...

Che ne sarà dei suoi debiti? E cosa ne sarebbe stato, se avesse cominciato il circolo vizioso dalla banca B, invece che dalla A?


P.S.: Secondo me era il più facile...

[Sherlock]

Beh diciamo che nel primo caso potrà fare quello che vuole con quel budget fino a quando qualcuno non gli rifiuterà un prestito e finirà male... (visto che i debiti aumenteranno sempre...) mentre nel secondo potrebbe in teoria anche annullare i debiti...solo penso che morirebbe prima

[Ponnamperuma]

Infatti... Se hai voglia di postare il conticino...

[Agi_90]

bon posto io che non ho niente da fare

Situazione 1:

Definiamo $ $d_1,d_2,...,d_n $ i debiti contratti, biennio per biennio, dal tizio verso A.

$ d_1 = 1000 $

quindi, dato $ $d_x $:

$ \displaystyle d_{x+1} = \left(\left( \frac{12}{100} d_x + d_x\right) - 100 \right) \frac{108}{100} - 100 $

e dopo le opportune semplificazioni:

$ \displaystyle d_{x+1} = d_x + \frac{2096}{10000} d_x -208 $

Si nota che $ $d_{x+1} > d_x $ se e solo se (1) $ \displaystyle \frac{2096}{10000} d_x > 208 $

ma se la (1) è verificata, allora sarà verificata anche:

$ \displaystyle \frac{2096}{10000} d_{x+1}> 208 $

essendo $ d_{x+1} > d_x $

$ d_2 > d_1 $ in quanto:

$ \displaystyle \frac{2096}{10000}1000 > 208 $

$ 209,6 > 208 $

quindi per induzione il debito andrà ad aumentare senza possibilità di estinzione.

Situazione 2:

Analogamente, $ b_1,b_2,...,b_n $ sono i debiti contratti dal tizio verso B.

$ \displaystyle b_{x+1} = \left(\left( \frac{8}{100} b_x + b_x\right) - 100 \right) \frac{112}{100} - 100 $

$ \displaystyle b_{x+1} = b_x + \frac{2096}{10000} b_x -212 $

Si nota che $ $b_{x+1} < b_x $ se e solo se (2) $ \displaystyle \frac{2096}{10000} b_x < 212 $

ma se la (2) è verificata, allora sarà verificata anche:

$ \displaystyle \frac{2096}{10000} b_{x+1}< 212 $

essendo $ b_{x+1} < b_x $

$ b_2 < b_1 $ in quanto:

$ \displaystyle \frac{2096}{10000}1000 < 212 $

$ 209,6 < 212 $

quindi per induzione il debito andrà a diminuire e quindi verrà saldato. prima o poi

[The Raven]

Ho due domande riguardo alla soluzione.

Nel primo caso il debito tende a infinito?
Nel secondo caso, entro quando il debito si estingue? (Non chiedo l'anno esatto, solo una limitazione.)

[!!Alberto!!]

Nel primo caso il debito aumenta sempre ogni 2 anni....
Quindi possiamo dire che dopo infiniti anni tende a infinito

Mentre nel secondo caso si estingue in all'incirca 300 anni.....
Molto all'incirca