Pen E28

[sqrt2]

In una riga se si han le idee giuste:

Dimostrare che $ n^{\pi(2n)-\pi(n)}< 4^n $ per ogni n intero positivo, dove $ \pi(n)= $#{$ p $ primi: $ p\leq n $}

[salva90]

Allora, intanto passo al logaritmo in base n e la tesi diventa
$ \displaystyle\pi(2n)-\pi(n)<n\frac{\ln 4}{\ln n} $

Inoltre con le classiche stime si ha
$ \displaystyle\pi(2n)-\pi(n)\simeq\frac{2n}{\ln 2n}-\frac{n}{\ln n}=\frac{n(\ln n-\ln 2)}{\ln n(\ln n+\ln 2)}<\frac{n}{\ln n}<\frac{n}{\ln n}\ln4 $

ora, io spero con tutto il cuore che questa non era la soluzione cercata, sennò prometto che abbandono tdn e mi do alla geometria sintetica

[Pigkappa]

Hai indicato con "ln" sia il logaritmo in base n che quello in base e, oppure mi sfugge qualcosa?

[salva90]

Hai indicato con "ln" sia il logaritmo in base n che quello in base e, oppure mi sfugge qualcosa?

ti sfugge che $ \log_n a= \frac{\ln a}{\ln n} $

[moebius]

A me invece sfugge la correttezza della dimostrazione...
Quella che hai usato è una stima asintotica

[sqrt2]

Già, la tua è una stima asintotica Salva90...

Eccoti un HINT: considera $ \displaystyle \binom {2n}{n} $

[moebius]

Bello! Cavolo è davvero un rigo... e se ci son riuscito io

[FrancescoVeneziano]

Vi ricordo anche che con le stime asintotiche va usata un po' di cautela, in particolare non si possono sommare.
Da $ ~ f(x) \sim g(x) $ e $ ~ a(x)\sim b(x) $ NON segue $ ~ f(x)+a(x)\sim g(x)+b(x) $.