Sarebbe meglio se non leggeste qua sotto:
Ma se poprio avete letto, almeno ricordatevi dei nanetti!Il problema è, volontariamente, mal posto...
A caso...
A caso...
Qual'è la probabilità che scelta a caso la corda di una circonferenza, questa sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto?
Sarebbe meglio se non leggeste qua sotto:
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Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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darkcrystal
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- Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
- Località: Chiavari
[Ignoranza mode on]
Beh, in effetti non è il massimo dei problemi ben posti... però, la mia stupidata la provo lo stesso.
Per non tirare in ballo teoria della misura e cose simili, di cui non so nulla, diciamo che prendiamo due punti, A e B, per tracciare la corda. A meno di omotetie e traslazioni, posso supporre che sia la circonferenza goniometrica; a meno di rotazioni, posso supporre che il punto A sia (-1,0). Perciò B deve stare nell'arco di circonferenza con $ x > \frac12 $, che è un terzo della circonferenza privato dei due estremi, e dunque la probabilità (io spero) è 1/3
[/Ignoranza mode ancora on senza che io me ne renda conto]
Ora insultatemi pure.
Ciao!
Beh, in effetti non è il massimo dei problemi ben posti... però, la mia stupidata la provo lo stesso.
Per non tirare in ballo teoria della misura e cose simili, di cui non so nulla, diciamo che prendiamo due punti, A e B, per tracciare la corda. A meno di omotetie e traslazioni, posso supporre che sia la circonferenza goniometrica; a meno di rotazioni, posso supporre che il punto A sia (-1,0). Perciò B deve stare nell'arco di circonferenza con $ x > \frac12 $, che è un terzo della circonferenza privato dei due estremi, e dunque la probabilità (io spero) è 1/3
[/Ignoranza mode ancora on senza che io me ne renda conto]
Ora insultatemi pure.
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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non avevo letto darkcrystal... io ho solo pensato così: prendo un punto a caso sulla circonferenza; posso considerare tale punto come un vertice del triangolo inscritto; a questo punto penso alla circonferenza come fosse divisa in tre archi uguali; se metto il secondo punto nell'arco opposto al primo vertice ottengo corde maggiori del lato del triangolo, negli altri casi minore
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]
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darkcrystal
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- Località: Chiavari
) avevo tentato di formalizzare il più possibile...
Un'altra soluzione: una corda è univocamente determinata dal suo punto medio (a meno che questo sia il centro, ma saremo tutti d'accordo che è improbabile beccare proprio un diametro e quindi possiamo ignorarlo).
Il luogo dei centri buoni è un cerchio concentrico alla nostra circonferenza, con raggio dimezzato. Quindi l'area di questo cerchio è 1/4 dell'area totale e la probabilità cercata è $ ~ \frac 14 $. darkcrystal e albert_K riceverete presto informazioni dal mio avvocato
Il luogo dei centri buoni è un cerchio concentrico alla nostra circonferenza, con raggio dimezzato. Quindi l'area di questo cerchio è 1/4 dell'area totale e la probabilità cercata è $ ~ \frac 14 $. darkcrystal e albert_K riceverete presto informazioni dal mio avvocato
Re: A caso...
A me non convince il fatto di poter trascurare i diametri visto che ce ne sono infiniti in una circonferenza e quindi il loro contributo alla probabilita' finale potrebbe essere non trascurabile. Comunque io faccio quest'altro ragionamento: consideriamo una circonferenza di raggio R e centro O, fissiamo un punto qualsiasi su di essa e chiamiamo questo punto P. Tutte le corde uscenti da P sono univocamente determinate dalla circonferenza avente raggio R/2 e centro il punto medio del segmento PO (e' il luogo descritto dai punti medi di ogni corda). Di queste corde quelle piu' lunghe del lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza iniziale individuano un arco sulla circonferenza piccola pari ad 1/3 della sua lunghezza complessiva. Poiche' questo discorso puo' essere ripetuto per tutti gli infiniti punti della circonferenza grande a me torna che la probabilita' finale sia 1/3.
Bye
Bye
Ah, che due palle... perché ogni tot qualcuno se ne esce con questi problemi di probabilità? (e soprattutto, perché non ha già risposto teppic??).
Comunque, a rischio di dire baggianate... tutto dipende da cosa vuol dire "scegliere una corda a caso". Infatti, il metodo stesso con cui si sceglie la corda attribuisce diverse probabilità alle varie configurazioni.
In linea di principio, una corda è individuata da due numeri reali (gli angoli in cui si trovano gli estremi, la distanza dal centro e l'inclinazione, la lunghezza e la direzione normale, ...), ma ora, pensateci un attimo, voi fate questa cosa: scegliete una coppia di parametri, determinate per entrambi un intervallo di numeri reali in cui essi variano (ad es. $ [0,2\pi] $ per gli angoli) e poi dite che la probabilità di trovare una corda come volete voi è data dall'area dell'insieme di coppie di parametri ammissibili.
Mi spiego meglio:
1) individuiamo la corda tramite i due estremi
I due estremi vengono individuati dall'angolo che formano con un punto fissato rispetto al centro, quindi una corda è individuata da una coppia di numeri $ (a,b) $ entrambi tra 0 e $ 2\pi $; ora, se vogliamo che la lunghezza della corda sia maggiore di $ 2r\sin\pi/3 $, dovremo avere che l'angolo più piccolo che i due estremi formano con il centro sia maggiore di $ 2\pi/3 $, quindi voglio che si abbia $ \pi\geq |a-b|\geq2\pi/3 $ oppure $ 5\pi/3\geq|a-b|\geq\pi $. Da cui, se consideriamo il quadrato di vertici $ (0,0),\ (0,2\pi),\ (2\pi,0),\ (2\pi,2\pi) $, tali punti ammissibili formano al suo interno un esagono di area $ 4\pi^2/3 $. Quindi, se postuliamo di parametrizzare così le corde e dire che un insieme di corde ha probabilità pari all'area dell'insieme di parametri che gli corrisponde, otteniamo 1/3.
2) individuiamo la corda tramite distanza dal centro e inclinazione
La distanza dal centro varia tra 0 e r, l'inclinazione tra 0 e $ \pi $; ovviamente, la lunghezza dipende solo dalla distanza dal centro, dunque richiedo che la distanza dal centro sia minore di r/2. Vanno quindi bene tutte le coppie $ (d,\alpha) $ dove $ d<r/2 $ e l'angolo varia liberamente.
Queste coppie formano un rettangolo di area $ r\pi/2 $ e dunque, parametrizzando in questo modo le corde e accettando quanto sopra detto, ho probabilità 1/2.
3) individuiamo la corda tramite la lunghezza e la direzione normale
La lunghezza di una corda varia tra 0 e 2r. La direzione normale varia come l'inclinazione del punto precedente. Le coppie (l,a) accettabili sono quelle in cui $ l>r\sqrt{3} $, mentre, ovviamente, ogni normale va bene.
Tale insieme è un rettangolo di area $ (2-\sqrt{3})r\pi $ e dunque la probabilità è $ 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
4) individuiamo la corda tramite il suo punto medio
Problema dei diametri: per fare ciò postuliamo implicitamente che i diametri sono "improbabili", ovvero assumiamo che la probabilità di scegliere tra tutte le corde un diametro sia 0.Fine problema
I punti medi sono individuati dalle coordinate, due numeri reali che si muovono dentro la circonferenza di raggio r; il conto l'ha già fatto edriv e, proprio confrontando le aree, viene 1/4.
E si può peggiorare la situazione, utilizzando più parametri del necessario: nessuno mi vieta di scegliere una corda a caso scegliendo un punto all'interno del cerchio e poi una direzione, ad esempio. La probabilità di scegliere un punto del cerchio all'interno di un determinato insieme possiamo dire che sia l'area di quell'insieme rispetto a quella del cerhio e misurare l'inclinazione rispetto al raggio dal centro al punto. Allora, per un punto che stia dentro al cerchio di raggio c, mi andranno bene inclinazioni a tali che
$ c\sin(a)<r/2 $
ovvero, se il punto sta nel cerchio di area A, vorrò che
$ \sqrt{A/\pi}\sin(a)<r/2 $
il che da una probabilità (con un po' di contacci) pari a
$ \displaystyle{\frac{\sqrt{3/4}r^2\pi+r^2\pi^2/3}{2r^2\pi^2}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4\pi}+\frac16}=0.304\ldots $
Insomma, a seconda di come si sceglie la corda, la probabilità cambia.
Comunque, a rischio di dire baggianate... tutto dipende da cosa vuol dire "scegliere una corda a caso". Infatti, il metodo stesso con cui si sceglie la corda attribuisce diverse probabilità alle varie configurazioni.
In linea di principio, una corda è individuata da due numeri reali (gli angoli in cui si trovano gli estremi, la distanza dal centro e l'inclinazione, la lunghezza e la direzione normale, ...), ma ora, pensateci un attimo, voi fate questa cosa: scegliete una coppia di parametri, determinate per entrambi un intervallo di numeri reali in cui essi variano (ad es. $ [0,2\pi] $ per gli angoli) e poi dite che la probabilità di trovare una corda come volete voi è data dall'area dell'insieme di coppie di parametri ammissibili.
Mi spiego meglio:
1) individuiamo la corda tramite i due estremi
I due estremi vengono individuati dall'angolo che formano con un punto fissato rispetto al centro, quindi una corda è individuata da una coppia di numeri $ (a,b) $ entrambi tra 0 e $ 2\pi $; ora, se vogliamo che la lunghezza della corda sia maggiore di $ 2r\sin\pi/3 $, dovremo avere che l'angolo più piccolo che i due estremi formano con il centro sia maggiore di $ 2\pi/3 $, quindi voglio che si abbia $ \pi\geq |a-b|\geq2\pi/3 $ oppure $ 5\pi/3\geq|a-b|\geq\pi $. Da cui, se consideriamo il quadrato di vertici $ (0,0),\ (0,2\pi),\ (2\pi,0),\ (2\pi,2\pi) $, tali punti ammissibili formano al suo interno un esagono di area $ 4\pi^2/3 $. Quindi, se postuliamo di parametrizzare così le corde e dire che un insieme di corde ha probabilità pari all'area dell'insieme di parametri che gli corrisponde, otteniamo 1/3.
2) individuiamo la corda tramite distanza dal centro e inclinazione
La distanza dal centro varia tra 0 e r, l'inclinazione tra 0 e $ \pi $; ovviamente, la lunghezza dipende solo dalla distanza dal centro, dunque richiedo che la distanza dal centro sia minore di r/2. Vanno quindi bene tutte le coppie $ (d,\alpha) $ dove $ d<r/2 $ e l'angolo varia liberamente.
Queste coppie formano un rettangolo di area $ r\pi/2 $ e dunque, parametrizzando in questo modo le corde e accettando quanto sopra detto, ho probabilità 1/2.
3) individuiamo la corda tramite la lunghezza e la direzione normale
La lunghezza di una corda varia tra 0 e 2r. La direzione normale varia come l'inclinazione del punto precedente. Le coppie (l,a) accettabili sono quelle in cui $ l>r\sqrt{3} $, mentre, ovviamente, ogni normale va bene.
Tale insieme è un rettangolo di area $ (2-\sqrt{3})r\pi $ e dunque la probabilità è $ 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
4) individuiamo la corda tramite il suo punto medio
Problema dei diametri: per fare ciò postuliamo implicitamente che i diametri sono "improbabili", ovvero assumiamo che la probabilità di scegliere tra tutte le corde un diametro sia 0.Fine problema
I punti medi sono individuati dalle coordinate, due numeri reali che si muovono dentro la circonferenza di raggio r; il conto l'ha già fatto edriv e, proprio confrontando le aree, viene 1/4.
E si può peggiorare la situazione, utilizzando più parametri del necessario: nessuno mi vieta di scegliere una corda a caso scegliendo un punto all'interno del cerchio e poi una direzione, ad esempio. La probabilità di scegliere un punto del cerchio all'interno di un determinato insieme possiamo dire che sia l'area di quell'insieme rispetto a quella del cerhio e misurare l'inclinazione rispetto al raggio dal centro al punto. Allora, per un punto che stia dentro al cerchio di raggio c, mi andranno bene inclinazioni a tali che
$ c\sin(a)<r/2 $
ovvero, se il punto sta nel cerchio di area A, vorrò che
$ \sqrt{A/\pi}\sin(a)<r/2 $
il che da una probabilità (con un po' di contacci) pari a
$ \displaystyle{\frac{\sqrt{3/4}r^2\pi+r^2\pi^2/3}{2r^2\pi^2}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4\pi}+\frac16}=0.304\ldots $
Insomma, a seconda di come si sceglie la corda, la probabilità cambia.
