Estremo inferiore di una funzione in 2 variabili
Estremo inferiore di una funzione in 2 variabili
Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy
Si determini l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto il piano.
Ora quest'estremo inferiore è palesemente il minimo (che calcolo facilmente imponendo che il gradiente della funzione sia nullo), ma come posso fare a dimostrarlo?
Grazie mille
Si determini l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto il piano.
Ora quest'estremo inferiore è palesemente il minimo (che calcolo facilmente imponendo che il gradiente della funzione sia nullo), ma come posso fare a dimostrarlo?
Grazie mille
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)
soluzione 1, con le derivate parziali, credo, viene $ x(4^4x^8+1)=0 $ da cui$ x=y=0 $ che è estremante basta prendere unpunto a caso per vericare che è minimo, soluzione orribile
soluzione due: dimostriamo che in modulo si ha $ x^4+y^4 \ge \mid xy \mid $, wlog $ x, y \in R^+ $ e per le medie si ha $ \displaystyle \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}} \ge \sqrt[2]{xy} $ cioè: $ \displaystyle x^4+y^4 \ge 2{(xy)}^2 \ge xy $ e si ha uguaglianza sse $ x=y $ da cui il minimo di $ 2x^4+x^2 $ data che è a termini positivi si ha quando$ x=y=0 $
la cosa carina è ke puoi estenderla a n variabili cioè:
$ \forall a_i \in R e n\in N $ si ha $ \sum_{1\le i\le n}{{a_i}^4}+\prod_{1\le i \le n}{a_i}\ge 0 $ e si ha uguaglianza sse $ a_i=0 \forall i\in [1,n] $
bye
soluzione due: dimostriamo che in modulo si ha $ x^4+y^4 \ge \mid xy \mid $, wlog $ x, y \in R^+ $ e per le medie si ha $ \displaystyle \sqrt[4]{\frac{x^4+y^4}{2}} \ge \sqrt[2]{xy} $ cioè: $ \displaystyle x^4+y^4 \ge 2{(xy)}^2 \ge xy $ e si ha uguaglianza sse $ x=y $ da cui il minimo di $ 2x^4+x^2 $ data che è a termini positivi si ha quando$ x=y=0 $
la cosa carina è ke puoi estenderla a n variabili cioè:
$ \forall a_i \in R e n\in N $ si ha $ \sum_{1\le i\le n}{{a_i}^4}+\prod_{1\le i \le n}{a_i}\ge 0 $ e si ha uguaglianza sse $ a_i=0 \forall i\in [1,n] $
bye
The only goal of science is the honor of the human spirit.
mmm...
la seconda soluzione non l'ho capita granchè ma cmq... il minimo è -1/8 ottenuto per (x,y)=(-1/2, +1/2)...
Per quanto riguarda la soluzione 1, io so già che quello è un minimo relativo, però potrebbe darsi, visto che l'insieme è illimitato, che la funzione abbia un estremo inferiore che NON è minimo. Io vorrei dimostrare che non sussiste quest'ultimo caso...
la seconda soluzione non l'ho capita granchè ma cmq... il minimo è -1/8 ottenuto per (x,y)=(-1/2, +1/2)...
Per quanto riguarda la soluzione 1, io so già che quello è un minimo relativo, però potrebbe darsi, visto che l'insieme è illimitato, che la funzione abbia un estremo inferiore che NON è minimo. Io vorrei dimostrare che non sussiste quest'ultimo caso...
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)
ho semplicemente sbagliato iconti..se sommi le derivate parziali e fattorizzi esce $ (x+y)(4(x^2+y^2-xy)+1)=0 $ da cui unica soluzione $ x=-y $ sostituendo ti esce $ 2x^4-x^2 $ che ha minimo in +-1/2 per ovvi motivi..
l'errore al mio ragionamento prima era che ho considerato vera la disuguaglianza $ 2{(xy)}^2\ge(xy) $ per ogni (xy) reale e invece guarda caso usciva la stessa disuguaglianza della soluzione "giusta", bye
edit(post con darkrystal contemporaneo)
l'errore al mio ragionamento prima era che ho considerato vera la disuguaglianza $ 2{(xy)}^2\ge(xy) $ per ogni (xy) reale e invece guarda caso usciva la stessa disuguaglianza della soluzione "giusta", bye
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Ultima modifica di jordan il 06 gen 2008, 20:13, modificato 2 volte in totale.
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Boh, premetto che di questa roba so poco, ma tento di dare il mio piccolo contributo.
Con le derivate parziali viene fuori il sistema $ y=-4x^3 \mbox{ e } x=-4y^3 $, che dà la simpatica equazione $ y=2^8y^9 $ con soluzioni reali $ y \in \left\{0,-\frac12,\frac12\right\} $.
EDIT: No, avevo scritto ancora più cavolate di quanto pensassi... ci lavoro ancora un po', va...
@jordan: $ 2(xy)^2 \geq (xy) $ non è necessariamente vera...
Con le derivate parziali viene fuori il sistema $ y=-4x^3 \mbox{ e } x=-4y^3 $, che dà la simpatica equazione $ y=2^8y^9 $ con soluzioni reali $ y \in \left\{0,-\frac12,\frac12\right\} $.
EDIT: No, avevo scritto ancora più cavolate di quanto pensassi... ci lavoro ancora un po', va...
@jordan: $ 2(xy)^2 \geq (xy) $ non è necessariamente vera...
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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Dunque, questo potrebbe funzionare ma prendetelo con le molle.
Se $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $, valgono le disuguaglianze di jordan, dunque la funzione è positiva, mentre noi sappiamo che ha almeno un punto in cui è negativa, quindi sotto queste condizioni (ripeto, $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $) non ci può essere estremo inferiore.
Se invece prendi la f definita su $ \left[-1,1\right] \times \left[-1,1\right] $, che è un compatto, l'immagine sarà ancora un compatto, che quindi contiene tutti i suoi punti di accumulazione: perciò se ha un estremo inferiore, è il minimo
Spero che questa vada...
Ciao!
Se $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $, valgono le disuguaglianze di jordan, dunque la funzione è positiva, mentre noi sappiamo che ha almeno un punto in cui è negativa, quindi sotto queste condizioni (ripeto, $ |x|>1 $ e $ |y|>1 $) non ci può essere estremo inferiore.
Se invece prendi la f definita su $ \left[-1,1\right] \times \left[-1,1\right] $, che è un compatto, l'immagine sarà ancora un compatto, che quindi contiene tutti i suoi punti di accumulazione: perciò se ha un estremo inferiore, è il minimo
Spero che questa vada...
Ciao!
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Si può dimostrare che "x^4+y^4" è un infinito di ordine maggiore di "xy" e quindi:
dato "a" adeguato, raggio dell'intorno circolare con centro l'origine si ha che "x^4+y^4>xy" per ogni "b>a" definitivamente vero e quindi la funzione diverge a +infinito. Quindi non ci sono altri minimi (anche perché la funzione è continua).
Spero di nn aver detto cavolate !
Chiedo scusa ai moderatori, ma avevo scritto col "LaTeX" e il messaggio non si postava (non so il perché)! Ho dovuto quindi levare il LaTeX e, per farci capire qualcosa ho messo gli apici.
Ciao
(un saluto particolare a jordan!)
dato "a" adeguato, raggio dell'intorno circolare con centro l'origine si ha che "x^4+y^4>xy" per ogni "b>a" definitivamente vero e quindi la funzione diverge a +infinito. Quindi non ci sono altri minimi (anche perché la funzione è continua).
Spero di nn aver detto cavolate !
Chiedo scusa ai moderatori, ma avevo scritto col "LaTeX" e il messaggio non si postava (non so il perché)! Ho dovuto quindi levare il LaTeX e, per farci capire qualcosa ho messo gli apici.
Ciao
(un saluto particolare a jordan!)
@ darkcrystal: mi sa che ti sei perso un caso. Se |x|>1 e |y|<1 (e viceversa, che però si può eludere osservando che f(x,y)=f(y,x) ). Tra l'altro questo è il caso di maggiore interesse perchè di solito quando l'estremo inferiore non è minimo si ha dipendenza di y da x (y=kx, con k reale, di solito) e si fa tendere all'infinito una delle due variabili...
Cmq per la soluzione molto olimpica di jordan!!
Cmq per la soluzione molto olimpica di jordan!!
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)
@ jordan Quando sei riuscito a stabilire che tra "a" e infinito non si ha questo benedetto estremo inferiore, è fatta!
Tra 1/2 e 0 la funzione non "scoppia" ed è sempre continua, quindi l'inf è minimo e lo trovo annullando il gradiente...
Spero di non aver detto sciocchezze
Tra 1/2 e 0 la funzione non "scoppia" ed è sempre continua, quindi l'inf è minimo e lo trovo annullando il gradiente...
Spero di non aver detto sciocchezze
Réver e révéler, c'est à peu prés le meme mot (R. Queneau)
Caro Mondo, ti consiglio di leggere le regole di utilizzo del forum che puoi trovare qui e le regole della sezione Matematica non elementare che puoi trovare qui. Questo forum è dedicato alle Olimpiadi di Matematica, non alla matematica in generale o ad aiutare studenti in difficoltà.
Puoi provare a cercare aiuto su altri siti come questo.
Buona Navigazione.
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Al di là delle indubbie finalità non olimpiche di Mondo (so benissimo da dove viene quel problema ) che giustamente hanno attirato le ire di EvaristeG, devo dire che questo topic non andrebbe abbandonato.
Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
Proporrei quindi di rivitalizzare questo topic con 2 scopi
Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
Proporrei quindi di rivitalizzare questo topic con 2 scopi
- trovare una soluzione all'interno del programma olimpico "basic";
- trovare una soluzione con strumenti più avanzati (ma bovinamente standard), anche e soprattutto per far piazza pulita di tutti gli errori classici si analisi matematica emersi nei post precedenti, e che, se lasciati "impuniti", finiranno prima o poi per comparire in un compito alle IMO.
l'hai detto tu, se non usi l'analisi, nn è standard, non ti pare che ticontraddici?Xamog ha scritto:Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
Xamog ha scritto:trovare una soluzione all'interno del programma olimpico "basic"
se ti aggiungo che di analisi non so niente ti basta?e poi ho provato, ho fatto un errore da prima liceo, ma con strumenti standard
dimmi un po, quali sono questi errori di analisi emersi nei post precedenti?Xamog ha scritto:trovare una soluzione con strumenti più avanzati (ma bovinamente standard), anche e soprattutto per far piazza pulita di tutti gli errori classici si analisi matematica emersi nei post precedenti, e che, se lasciati "impuniti", finiranno prima o poi per comparire in un compito alle IMO.[/list]
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in gara non metteranno mai un esercizio risolvibile IN MODO STANDARD con l'analisi, anche se esistono soluzioni olimpiche elementari.jordan ha scritto:l'hai detto tu, se non usi l'analisi, nn è standard, non ti pare che ticontraddici?Xamog ha scritto:Infatti, a guardarlo bene, si tratta di un esercizio perfettamente compatibile con il programma olimpico, ma che non potrà mai comparire in una gara soltanto perchè troppo standard.
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]