Facile-facile-facilissimo

[FeddyStra]

Scomporre sui razionali $ (x-1)(x-2)...(x-2007)(x-2008)-1 $.

Astenersi veterani, professionisti, esperti e amatori.
Inoltre faccio già che respingere eventuali critiche alla tipologia e alla difficoltà dell'esercizio proposto.

[jordan]

Astenersi veterani, professionisti, esperti e amatori.

e chi?

sarebbe stato più carino comunque chiedere "dimostrare che ha 2008 radici irrazionali", il che non è equivalente

[Simo_the_wolf]

UP!!

BONUS QUESTION

scomporre $ (x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2....(x-2008)^2+1 $

[darkcrystal]

Allora, supponiamo che $ p(x)=(x-1)...(x-2008)-1 $ si fattorizzi: $ p(x)=q(x)r(x) $ per due polinomi a coefficienti razionali q ed r.
Ora, è noto che se un polinomio a coefficienti interi fattorizza sui razionali fattorizza anche sugli interi; perciò abbiamo che q(1)*r(1)=p(1)=-1, e q(1) e r(1) sono interi: dunque devono essere $ q(1)=-r(1)=\pm 1 $, e similmente $ q(i)=-r(i)=\pm 1 $ per ogni i da 1 a 2008.
Consideriamo perciò $ q(x)+r(x) $, che ha grado minore o uguale al massimo dei gradi di q(x) e r(x). Se nessuno dei due è un polinomio costante, questa somma ha al massimo grado 2007. D'altra parte è anche vero che per ogni i fino a 2008 $ q(i)=-r(i) \Rightarrow q(i)+r(i)=0 $, ma allora $ q(x)+r(x) $ ha più zeri del suo grado, assurdo a meno che non sia la costante 0.
Ma da questo seguirebbe che $ r(x)=-q(x) $, ossia $ p(x)=-[q(x)]^2 $, assurdo per confronto dei coefficienti direttivi (un positivo e un negativo).

Perciò p(x) non si fattorizza sui razionali.

[jordan]

per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.
chi si cimenta alla domanda mia e di simo(molto piu interessante)?

[mitchan88]

per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.

Cosi dimostri che non ha radici in Q, non che non è scomponibile in Q...

[albert_K]

per la fattorizzazione su Q, se a è radice è della forma b/c con c divisore del coefficiente di x^2008 e b divisore del termine noto 2008!+1, quindi a è della forma +-d, con d divisore intero di 2008!+1, ma p(d) diverso da 0 per ovvi motivi.

Cosi dimostri che non ha radici in Q, non che non è scomponibile in Q...

Ah ecco, infatti non capivo a quale domanda sua (di jordan) si riferisse. Mi sembrava si fosse risposto da solo

[jordan]

Mi sembrava si fosse risposto da solo

be, non proprio..non ho risposto nè al mio nè agli atri due

[albert_K]

Hai ragione tu in effetti.
Per rispondere al tuo quesito bisogna ancora dimostrare che ha 2008 radici reali.
Si vede facilmente notando che $ $ p(i + 1/2) $ $cambia segno 2008 volte, $ $ i=0,1,\dots 2008$ $

[jordan]

tanto per aggiungere cazzate a cazzate, se ti scompongo cosi no è? $ \displaystyle (\prod_{j=1}^{2008}{(x-j)}+i)(\prod_{j=1}^{2008}{(x-j)}-i) $

[Simo_the_wolf]

In effetti potevo anche dire dove scomporre....

Beh diciamo di scomporlo $ \mathbb { Q } \left[ x \right] $