Irrazionalità di e

[angus89]

Allora...
Da tempo penso alla matematica e alle sue dimostrazioni.
Spesso provando a dimostrare qulcosa ci si rende conto che si fanno delle forzature...
Inanzitutto espondo il PROBLEMA principale e poi passo all'altro problema.

Allora...da wiki

Dimostrazione della irrazionalità di e

Ragionando per assurdo consideriamo il numero di Nepero e un numero razionale e dunque eprimibile nella forma


con a,b appartenenti a N, sia



Possiamo ora notare che per come è costruito, x è un numero intero, difatti avendo supposto e come il rapporto tra a e b possiamo scrivere



Il primo termine della differenza è un intero ed anche il secondo termine lo è, poiché tutti i termini della somma lo sono finché b≥n.
Utilizzando la definizione di e possiamo scrivere:

E qui mi blocco...non riesco a capire come avviene questo passaggio, se qualcuno riesce a capirlo posti...io già ci ho perso mezz'ora...va bè vado avanti

e questo implica che x>0, inoltre la relazione appena trovata ci permette di scrivere




grazie alla formula per la somma di una serie geometrica. Poiché evidentemente b>1 abbiamo ottenuto che x<1.

Otteniamo quindi che che 0 < x <1; non essendoci interi tra 0 ed 1 abbiamo trovato l'assurdo, e dimostrato l'irrazionalità di e

QED

link diretto per la dimostrazione su wikipedia

Ora...il primo PROBLEMA che mi blocca e non mi fà capire la dimostrazione è quello evidenziato...
Il secondo problema che forse è più grave è che non riesco a capire a fondo questo tipo di dimostrazioni...
Effettivamente mi sembrano dei ragionamenti pilotati, nel senso che sembrano un pò forzature...
Ad esempio se rifacciamo lo stesso ragionamento invece che con e con un numero K, magari sapendo che K=2, che dimostriamo?
Che K(cioè 2) non esiste?Che è compreso tra 0 e 1?

So che con questo post farò una figuraccia, ma sinceramente prefesco questo all'ignoranza...so di non sapere e non me ne vergogno

Detto questo sarebbe anche interessante capire per quale motivo e risulta essere il limite notevole fondamentale

Specie alle superiori lo si usa sempre ma nessuno sà effettivamente di cosa sta parlando...
Quando il prof lo spiega dice sempre "questa affermazione non la dimostriamo"...
Ma esiste una dimostrazione che può comprendere anche uno studente medio?

ps...per evitare casini cito nuovamente la fonte delle immagini wikipedia.it

[phi]

Direi che entrambi i tuoi problemi vengono dallo stesso problema di fondo: prima di dimostrare che $ e $ è irrazionale...
...ma che cos'è $ e $?
Non puoi certo definirlo come "quel numero lì fra 2 e 3 che tanto tutti sappiamo di che si sta parlando" (come in pratica fu definito a me al liceo... ).
La dimostrazione che riporti suppone $ e $ definito come
$ \displaystyle{e=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{i!}} $
ed è questo che usa nel passaggio chiave che tu dichiari di non capire. Non è qualcosa che segue dalla riga precedente: semplicemente, prendi la definizione che hai dato di $ x $ all'inizio
$ \displaystyle{x=b!\left(e-\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}\right)} $
sostituisci $ e $ al suo interno e ottieni l'espressione per $ x $ su cui fai le considerazioni successive.
E' per questo che la tua dimostrazione non funziona minimamente se sostituisci $ e $ con un $ k $ diverso, ad esempio uguale a 2. Da questo punto in poi costruisci le tue osservazioni sul fatto che $ e $ è proprio quella sommatoria (che converge a un numero reale, e questo l'avrai dimostrato prima: la successione delle somme parziali è di Cauchy...).
Ad ogni modo direi che siamo davvero ai confini con Matematica non Elementare; non aggiungo altro sui tuoi problemi perché credo che fosse quella sostituzione il passaggio che ti sfuggiva, e che ora tu possa capire la fine della dimostrazione (o comunque tentare, chiedi se ancora non è chiaro).
Per quanto riguarda il limite notevole di cui parli, io credo che, una volta dimostrato che esiste, al liceo si definisca $ e $ proprio come quel limite piuttosto che come limite della sommatoria.
Se ti va di dimostrare che quella funzione e la sommatoria convergono allo stesso limite puoi provare a farlo tu stesso... o, se preferisci, ti consiglio di spostare la discussione in MnE, perché secondo me speculazioni su questo fatto avrebbero davvero poco di elementare.

[Tibor Gallai]

...ma che cos'è $ e $?

$ puppa! $

[angus89]

Grazie phi...
Ora ho capito...Finalmente...
Bè si effettivamente il mio problema è che non sapevo cosa fosse effettivamente e
E ora ho anche capito il limite notevole...
Secondo me comunque visto che non è impossibile la dimostrazione del limite notevole i profesori dovrebbero farla...
E dovrebbero parlare un pò di più del numero di nepero...
Perchè utilizzare il limite notevole senza sapere cosa sia...bè non ha senso
La matematica non è solo esercizi...
Va bè, piccolo sfogo...
Ancora grazie

[Russell]

Visto che si parla di $ \displaystyle e $, posto una curiosità. Se non interessa sorvolate.

Ripercorrendo (a grandi linee) il ragionamento, dividendolo in due parti, otterremo un risultato significativo e, come corollario, l'irrazionalità.

Perfetto dire che $ \displaystyle e:= \sum_{i=0}^{+ \infty} \frac{1}{i!} $
Poniamo anche $ \displaystyle s_n:= \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} \ \ \ \forall n \geq 1 $

Premessa: $ \displaystyle \left(n+i \right)! \geq \left( n+1 \right)! \left(n+1 \right)^{i-1} \ \ \ \forall i \in \mathbb{N}, i \geq 1 $ (ad esempio induzione su $ \displaystyle i \geq 1 $)

Allora $ \displaystyle e-s_n= \sum_{i=n+1}^{+ \infty} \frac{1}{i!} = $ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{\left( n+i \right) !} \leq \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{\left( n+1 \right) ! \left( n+1 \right) ^{i-1}}= \ ... \ =\frac{1}{nn!} $ (si calcoli la somma della serie geometrica).

Quindi $ \displaystyle e-s_n \leq \frac{1}{nn!} $

Questa diseguaglianza ci consente di controllare l'errore che commettiamo approssimando $ \displaystyle e $ con $ \displaystyle s_n $, a seconda di $ \displaystyle n $.

Se $ \displaystyle e=\frac{p}{q} $ con $ \displaystyle p, q $ naturali coprimi maggiori di $ \displaystyle 2 $ abbiamo che $ \displaystyle 0 < \frac{p}{q} - s_q \leq \frac{1}{qq!} $ cioè $ \displaystyle 0 < q! \left( \frac{p}{q}-s_q \right) \leq \frac{1}{q} $, assurdo, giacchè $ \displaystyle q! \left( \frac{p}{q}-s_q \right) $ è intero.

[edriv]

Ripercorrendo (a grandi linee) il ragionamento, dividendolo in due parti, otterremo un risultato significativo e, come corollario, la trascendenza.

Vada per l'irrazionalità, la trascendenza è un po' più dura però

[Russell]

Si...scusate!!
Sto studiando la trascendenza di e per un'esame... forse s'è visto!!
Comunque... volevo dire "irrazionalità"!