SNS 2003-2004 quesito 4

[gattovince]

Ciao a tutti!
Questo è il mio primo messaggio (spero di averlo messo nella sezione giusta). Sono molto contento di essere entrato in questo forum!

Avevo provato a risolvere questo problema ma non so se la soluzione sia giusta. Voi cosa ne pensate?

Si considerino un cerchio con centro O e raggio unitario e una sua corda
AB. Si costruisca la circonferenza che ha AB come diametro e sia C
un punto su di essa. Quanto vale, al variare della corda AB e del punto
C, il massimo della lunghezza di OC? (Si giustifichi accuratamente la
risposta).

A me viene che la lunghezza massima $ OC = \sqrt{2} $ con l'angolo $ AOB = 90° $
però non sono molto sicuro...

Grazie dell'aiuto!!

[jordan]

si, la soluzione è giusta, e la sezione in cui l'hai postato anche..magari ci mostri dov'è che sei insicuro?

[gattovince]

No niente...è solo che mi è venuta una cosa un po' contosa e non ero sicuro di aver fatto bene tutti i passaggi.
Grazie!!

EDIT: adesso ho visto che c'era un modo molto meno contoso...sono parecchio incantato...

[Pigkappa]

Inizio a preoccuparmi per la mia sanità mentale... L'ho fatto in analitica...

[Edit: beh, no, ho anche trovato una soluzione mille Pitagora e l'analisi... Più brutta di quell'altra...]

[darkcrystal]

Sorry double post (che tra l'altro non ho capito bene cosa il forum abbia combinato )

[darkcrystal]

Ma...?!
Sia M punto medio di AB. Uso la disuguaglianza triangolare su OMC: OC<=OM+MC e quindi il C migliore è quello che sta lungo OM, ossia sull'asse di AB.
A questo punto la figura è simmetrica, ed in particolare (detto $ 2\alpha $ l'angolo al centro su AB) viene $ OC=R(\cos(\alpha)+\sin(\alpha)) =\sqrt{2}R sin(\alpha+45) $ che ha max (guarda te i casi della vita) per $ \alpha=45° $

Vi torna? Perchè a questo punto mi avete messo dei seri dubbi...

[jordan]

be,si, è la prima che viene in mente,spero...con l'analitica??pigkappa sei un genio

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Vi torna? Perchè a questo punto mi avete messo dei seri dubbi...

si

alternativamente per dimostrare che C sta su MO basta considerare la crf di centro O e passante per l'intersezione della semiretta OM con la crf di diametro AB a cui sarà tangente.