Inviluppare quattro punti

[Marco]

Sono dati sei punti nel piano $ X_1, X_2, Y_1, Y_2, Y_3, Y_4 $.

Dimostrare o confutare: e' sempre possibile trovare due ulteriori punti$ X_3, X_4 $ t.c. i punti $ Y $ sono contenuti nell'inviluppo convesso dei punti $ X $?

[julio14]

Non è possibile.
Chiamo A e B i due semipiani formati da $ X_1X_2 $. Metto $ Y_1;Y_2 $ in A e $ Y_3;Y_4 $ in B. Pongo inoltre $ Y_1 $ nel semipiano formato dall'asse di $ X_1X_2 $ in cui è presente $ X_1 $, lo stesso per $ Y_2 $ e $ X_2 $, in modo che le rette passanti per $ X_1Y_1 $ e $ X_2Y_2 $ si incontrino in B, in cui si deve trovare almeno wlog $ X_4 $, perchè altrimenti nessun punto di B fa parte dell'inviluppo. Mi occupo solo dell'inviluppo di 1,2,3. Esso è un triangolo completamente in A. Se contenesse entrambi i punti $ Y_1;Y_2 $ allora le rette $ X_1Y_1 $ e $ X_2Y_2 $ si incontrerebbero nel triangolo e quindi in A.

EDIT: un grazie a Marco, il mio prof di italiano

[Marco]

Sono d'accordo con il risultato, ma ho fatto davvero fatica a capirti. Lo risistemo cosi':

Non è possibile.
Chiamo A e B i due semipiani formati da $ X_1X_2 $. Metto $ Y_1;Y_2 $ in A e $ Y_3;Y_4 $ in B. Pongo inoltre $ Y_1 $ nel semipiano formato dall'asse di $ X_1X_2 $ in cui è presente $ X_1 $, lo stesso per $ Y_2 $ e $ X_2 $, in modo che le rette passanti per $ X_1Y_1 $ e $ X_2Y_2 $ si intersechino in B, in cui si deve trovare almeno wlog $ X_4 $, perchè altrimenti nessun punto di B fa parte dell'inviluppo. Mi occupo solo dell'inviluppo di X1, X2, X3. Esso è un triangolo completamente in A.
Se contenesse entrambi i punti $ Y_1;Y_2 $, allora le rette $ X_1Y_1 $ e $ X_2Y_2 $ si incontrerebbero nel triangolo e quindi in A.

[julio14]

E io ho fatto davvero fatica a spiegarmi in effetti il mio metodo non era molto rigoroso, e io non sono mai stato troppo bravo a scrivere le dimostrazioni.
Mi accorgo ora che inoltre avevo lasciato indietro qualche verbo correggo subito