olimpiadi cinesi

[jordan]

quanto fa:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(\binom{n}{i}\sin{(xi)})} $ ?


buon $ lavoro^5 $

[Marco]

Combinatoria? E perche'?

Comunque mi pare faccia

$ 2^n \cos^n \frac{x}{2} \sin \frac{nx}{2} $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Preso il numero complesso $ z = \cos{x} + i\sin{x} $, per la formula di de Moivre abbiamo

$ z^n = \cos{n x} + i\sin{n x} $

chiamiamo $ S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(\binom{n}{i}\sin{(xi)})} $

e $ R_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{(\binom{n}{i}\cos{(xi)})} $

Quindi abbiamo: $ \displaystyle R_n + iT_n +1 = \sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i} z^i} = (z+1)^n $

Ma $ \displaystyle 1 + \cos{x} + i\sin{x} = 2 \cos{\frac{x}{2}} \left ( \cos{\frac{x}{2}} + i \sin{\frac{x}{2}} \right ) $

Quindi $ \displaystyle (z+1)^n = 2^n \cos^n {\frac{x}{2}} \left ( \cos{\frac{n x}{2}} + i \sin{\frac{n x}{2}} \right ) $

Quindi $ \displaystyle (1+R_n) + iS_n = \left ( 2^n \cos^n {\frac{x}{2}} \cos{\frac{n x}{2}} \right) + i \left ( 2^n \cos^n {\frac{x}{2}} \sin{\frac{n x}{2}} \right ) $

Quindi uguagliando la parte immaginaria e la parte reale del numero complesso risultano

$ \displaystyle S_n = 2^n \cos^n {\frac{x}{2}} \sin{\frac{n x}{2}} $

$ \displaystyle R_n = 2^n \cos^n {\frac{x}{2}} \cos{\frac{n x}{2}} - 1 $

[Pigkappa]

Rilancio:

Visto che l'ha postato qua, dategli un'interpretazione combinatorica (non so se esiste).

Buona fortuna, ce ne vorrà

[fph]

Anche secondo me è più algebra, però l'idea di jordan di postarlo qui non mi sembra del tutto campata in aria: in fondo Gabriel l'ha fatto con il binomio di Newton...

[jordan]

potrebbe farsi lo stesso anche con lo sviluppo del seno di taylor, notare il coefficiente binomiale e alcune identità trigonometriche..
comunque l'idea base è la stessa di gabriel
(in effetti ero indeciso su algebra o combinatoria,ma alla fine come sezioni non credo dovremmo considerarle come compartimenti stagni)

[fph]

lo sviluppo del seno di taylor

Povero Taylor, problemi ormonali?