rotazioni coi complessi

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killing_buddha
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rotazioni coi complessi

Messaggio da killing_buddha »

Anche se la mia domanda mi serve come approfondimento di un argomento "scolastico" la faccio lo stess.. Mi interessa molto la questione.
Brevemente:
Abbiamo studiato le rigidità del piano e dello spazio, e per farlo introdotto le matrici del gruppo ortogonale $ ~O_n(\mathbb{R}) $ e del gruppo ortogonale speciale $ SO_n(\mathbb{R})~ $.
In particolare abbiamo parlato di rotazioni, che in $ SO_2(\mathbb{R})~ $ hanno matrice

$ \displaystyle \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} $

ci è stato poi detto di sfuggita che esiste un isomorfismo tra $ SO_2 $ ed $ \mathbb{S}^1 $ ( i numeri complessi di modulo 1), cioè che in qualche modo le rotazioni "sono" moltiplicazioni per numeri complessi di modulo 1.

Ora, quel che interessa a me: questo discorso si può estendere alla moltiplicazione per un numero complesso di modulo qualunque, che dunque sarebbe una rotoomotetia? Se sì, tra cosa e cosa c'è isomorfismo?
C'entra qualcosa il fatto che io possa scrivere ogni numero complesso $ z=\Re(z) + \Im(z) $ come
$ \begin{pmatrix} \Re(z) & -\Im(z)\\ \Im(z) & \Re(z)\end{pmatrix} $?
(tra l'altro torna perfettamente anche vedendo come si scrive una matrice di SO2: se si pensa che ogni $ ~z\in\mathbb{S}^1 $ si scrive come $ ~\cos\theta + i\sin\theta $ la relazione è quasi naturale..)

Se tutte queste cose si posso fare, che relazione c'è tra la matrice della rotazione o rotoomotetia o altro e il numero complesso che in $ ~\mathbb{S}^1 $ mappa quella rotazione? E' un suo autovalore, è altro, non c'entra nulla?
fph
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Messaggio da fph »

Confermo tutto quello che hai già intuito da solo... c'è un isomorfismo tra il gruppo delle rotoomotetie del piano di centro O (con la composizione) e i complessi diversi da zero (con la moltiplicazione). La relazione esplicita tra matrice e complesso è quella che hai scritto:
$ a+ib \mapsto \begin{pmatrix}a &-b\\ b& a\end{pmatrix} $. In particolare, si verifica a mano che il complesso e il suo coniugato sono autovalori della matrice.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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