Dimostare che è impossibile scrivere 41 come
$ \displaystyle $ 41=3^{n}-2^{m} $
con n,m appartenenti a N-{0} (numeri interi positivi)
41 come differenza di potenze
41 come differenza di potenze
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
- Sesshoumaru
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$ 3^n-2^m = 41 $ (1)
Analizziamo mod 3
$ -(-1^m) \equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow $ m è pari, dunque la (1) diventa
$ 3^n-2^{2m'}=41 $ (2)
Analizziamo mod 4
$ (-1^n) \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow $ n è pari, dunque la (2) diventa
$ 3^{2n'}-2^{2m'}=41 $ (3)
Ma questa è una differenza di quadrati, quindi la (3) la riscriviamo come
$ (3^{n'} + 2^{m'})(3^{n'} - 2^{m'})=41 $ (4)
Ma 41 è primo, quindi necessariamente $ 3^{n'} + 2^{m'} = 41 $ e $ 3^{n'} - 2^{m'} = 1 $ (poichè $ 3^{n'} + 2^{m'} > 3^{n'} - 2^{m'} $)
Ma la somma dei due fattori, che è $ 2 \cdot 3^{n'} $, deve allora essere uguale a 41+1 =42.
$ 2 \cdot 3^{n'} = 42 \Rightarrow 3^{n'} = 21 $, assurdo poichè non esiste nessuna potenza di 3 uguale a 21. []
Analizziamo mod 3
$ -(-1^m) \equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow $ m è pari, dunque la (1) diventa
$ 3^n-2^{2m'}=41 $ (2)
Analizziamo mod 4
$ (-1^n) \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow $ n è pari, dunque la (2) diventa
$ 3^{2n'}-2^{2m'}=41 $ (3)
Ma questa è una differenza di quadrati, quindi la (3) la riscriviamo come
$ (3^{n'} + 2^{m'})(3^{n'} - 2^{m'})=41 $ (4)
Ma 41 è primo, quindi necessariamente $ 3^{n'} + 2^{m'} = 41 $ e $ 3^{n'} - 2^{m'} = 1 $ (poichè $ 3^{n'} + 2^{m'} > 3^{n'} - 2^{m'} $)
Ma la somma dei due fattori, che è $ 2 \cdot 3^{n'} $, deve allora essere uguale a 41+1 =42.
$ 2 \cdot 3^{n'} = 42 \Rightarrow 3^{n'} = 21 $, assurdo poichè non esiste nessuna potenza di 3 uguale a 21. []
[img]http://img65.imageshack.us/img65/2554/userbar459811cf0.gif[/img]
[i]"You have a problem with your brain: the left part has nothing right in it, and the right part has nothing left in it."[/i]
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- matemark90
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Abbiamo che $ 2^m\equiv 1\pmod 3 $ perchè $ 41\equiv2 \pmod 3 $ quindi $ m $ pari. Sia $ m=2m_1 $
Allo stesso modo abbiamo che $ 3^n\equiv1 \pmod 4 $ quindi anche $ n $ pari. Sia $ n=2n_1 $
Per differenza di quadrati l'equazione diventa $ (3^{n_1}-2^{m_1})(3^{n_1}+2^{m_1})=41 $
L'equazione è verificata se e solo se il primo fattore è uguale a 1 e il secondo è uguale a 41.
Vediamo con 2 conti a mano che il secondo fattore vale 41 solo per $ n_1=2 $ e $ m_1=5 $ che sostituiti non verificano. Quindi non verifica nessuna coppia.
Edit: devo diventare più veloce ad usare il LaTeX
Allo stesso modo abbiamo che $ 3^n\equiv1 \pmod 4 $ quindi anche $ n $ pari. Sia $ n=2n_1 $
Per differenza di quadrati l'equazione diventa $ (3^{n_1}-2^{m_1})(3^{n_1}+2^{m_1})=41 $
L'equazione è verificata se e solo se il primo fattore è uguale a 1 e il secondo è uguale a 41.
Vediamo con 2 conti a mano che il secondo fattore vale 41 solo per $ n_1=2 $ e $ m_1=5 $ che sostituiti non verificano. Quindi non verifica nessuna coppia.
Edit: devo diventare più veloce ad usare il LaTeX
Hasta la Carla... SIEMPRE!!!
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore.
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- Ponnamperuma
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- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
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Non lo sapevo...
ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...
bè vuol dire che era giusta...
bè dato che ci siamo...piccola variazione
$ \displaystyle 41=2^{n}-3^{m} $
dimostrare la stessa cosa...
ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...
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bè dato che ci siamo...piccola variazione
$ \displaystyle 41=2^{n}-3^{m} $
dimostrare la stessa cosa...
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- Sesshoumaru
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angus89 ha scritto:Non lo sapevo...
ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...
bè vuol dire che era giusta...
[edit, cavolata]
[img]http://img65.imageshack.us/img65/2554/userbar459811cf0.gif[/img]
[i]"You have a problem with your brain: the left part has nothing right in it, and the right part has nothing left in it."[/i]
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julio14 ha scritto:Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.
Right!
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui