41 come differenza di potenze

[angus89]

Dimostare che è impossibile scrivere 41 come
$ \displaystyle $ 41=3^{n}-2^{m} $
con n,m appartenenti a N-{0} (numeri interi positivi)

[Sesshoumaru]

$ 3^n-2^m = 41 $ (1)

Analizziamo mod 3

$ -(-1^m) \equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow $ m è pari, dunque la (1) diventa

$ 3^n-2^{2m'}=41 $ (2)

Analizziamo mod 4

$ (-1^n) \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow $ n è pari, dunque la (2) diventa

$ 3^{2n'}-2^{2m'}=41 $ (3)

Ma questa è una differenza di quadrati, quindi la (3) la riscriviamo come

$ (3^{n'} + 2^{m'})(3^{n'} - 2^{m'})=41 $ (4)

Ma 41 è primo, quindi necessariamente $ 3^{n'} + 2^{m'} = 41 $ e $ 3^{n'} - 2^{m'} = 1 $ (poichè $ 3^{n'} + 2^{m'} > 3^{n'} - 2^{m'} $)
Ma la somma dei due fattori, che è $ 2 \cdot 3^{n'} $, deve allora essere uguale a 41+1 =42.

$ 2 \cdot 3^{n'} = 42 \Rightarrow 3^{n'} = 21 $, assurdo poichè non esiste nessuna potenza di 3 uguale a 21. []

[matemark90]

Abbiamo che $ 2^m\equiv 1\pmod 3 $ perchè $ 41\equiv2 \pmod 3 $ quindi $ m $ pari. Sia $ m=2m_1 $
Allo stesso modo abbiamo che $ 3^n\equiv1 \pmod 4 $ quindi anche $ n $ pari. Sia $ n=2n_1 $
Per differenza di quadrati l'equazione diventa $ (3^{n_1}-2^{m_1})(3^{n_1}+2^{m_1})=41 $
L'equazione è verificata se e solo se il primo fattore è uguale a 1 e il secondo è uguale a 41.
Vediamo con 2 conti a mano che il secondo fattore vale 41 solo per $ n_1=2 $ e $ m_1=5 $ che sostituiti non verificano. Quindi non verifica nessuna coppia.

Edit: devo diventare più veloce ad usare il LaTeX

[Ponnamperuma]

Per la cronaca, questo è un SNS già comparso in almeno due occasioni!...

[angus89]

Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...
bè dato che ci siamo...piccola variazione

$ \displaystyle 41=2^{n}-3^{m} $
dimostrare la stessa cosa...

[Sesshoumaru]

Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...

[edit, cavolata]

[julio14]

Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.

[angus89]

Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.

Right!