Jordan vs Ramanujan

[killing_buddha]

Spostato in MNE-- HPotter

Stavo pensando se per caso non ci fosse qualche collegamento tra il numero di forme canoniche di Jordan per la matrice di una $ ~\phi \in{\rm End}(\mathbb{K}^n) $ e il valore della funzione di partizione $ p(n)~ $... la questione è complicata dal fatto che forme canoniche con diversi autovalori sono contate come diverse (anche se le matrici nilpotenti "che stanno sotto" la matrice diagonale hanno lo stesso indice di nilpotenza)... ma penso ci sia un modo di far tornare le cose... avete idee?

[pic88]

Puoi fare degli esempi? Cosa vuol dire che quelle con autovalori diversi vengono contate come diverse?

[killing_buddha]

$ \displaystyle\begin{pmatrix} a&&\\ &a&\\ &&a\end{pmatrix} $

è diverso da
$ \displaystyle\begin{pmatrix} a&&\\ &a&\\ &&b \end{pmatrix} $

e
$ \displaystyle\begin{pmatrix} a&1&\\ &a&\\ &&b \end{pmatrix} $

è diverso da


a 1 0
0 a 0
0 0 a

ma le matrici nilpotenti sotto hanno lo stesso indice di nilpotenza

[HarryPotter]

Ummh...

Non mi sembra essere materia da olimpiadi della matematica

Sposto questo topic in matematica non elementare...

Detto questo: cosa è la funzione di partizione?

[killing_buddha]

Ummh...

Non mi sembra essere materia da olimpiadi della matematica

Sposto questo topic in matematica non elementare...

Detto questo: cosa è la funzione di partizione?

La funzione di partizione è la mappa da $ \mathbb{N} $ in $ \mathbb{N} $ che associa ad n il numero di modi in cui n può essere scritto come somma di naturali, senza tener conto dell'ordine.
Le partizioni di 3 sono 3 dato che
3=1+1+1
3=2+1
3=3+0

[scusate l'errore]

[mitchan88]

Le possibili forme di Jordan di una matrice $ n \times n $ sono $ p(n) $, visto che la forma è canonica a meno dell'ordine dei blocchi e quindi posso ordinarli in modo decrescente e tale che la somma degli ordini dei blocchi sia $ n $.
Se invece ho più autovalori distinti posso raggrupparli e ordinarli in modo da formare sequenze di autovalori uguali tali che il numero di autovalori uguali in ogni sequenza sia decrescente (ottengo una partizione di n, insomma): a quel punto riapplico il passo base e dovrei ottenere una bella formulina come questa:

Se $ \mathbb{P}=\{\{x_1\dots x_k\}| x_1 +\dots+x_k=n $ e $ x_1\geq\dots \geq x_k\geq1 $, $ k\in\mathbb{N}\} $
è l'insieme delle partizioni di n (viste come insiemi "ordinati"), allora la cosa che cerchiamo noi è

$ \displaystyle\sum_{q\in\mathbb{P}}\prod_{x_i\in q}p(x_i) $

dove q è una qualsiasi partizione... Trovare una formula chiusa penso sia infattibile

P.s. leggendo il titolo pensavo che Jordan ti avesse proposto qualche problema alla Ramanujuan XD
P.s.s. Eccanonicoooo!!

[mitchan88]

Ommioddio... Che sia $ \displaystyle\sum_{i=1}^{p(n)}n=\frac{p(n)(p(n)+1)}{2} $?
ho provato fino a n=6 e torna
Induzione a me >o<

EDIT cazzate XD per n=7 non vale

[Zoidberg]

Azz peccato! se arrivavi fino a 7 era considerata dimostrazione rigorosa !