Considerare l’equazione $ x^2+(m-1)x-(m+3) = 0 $, dove $ m $ è un parametro reale.
Dopo aver riconosciuto che essa ha radici reali per ogni valore di $ m $, trovare l’espressione della somma dei quadrati delle radici e dire per quale valore di $ m $ essa è minima.
Il problema è facile, si lasci ai meno esperti la possibilità di scrivere la soluzione!
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La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
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il discriminante dell'equazione vale
$ (m-1)^2 + 4(m+3) $
ovvero
$ m^2 + 2m + 13 $
che è maggiore di zero $ \forall \ m $
quindi le soluzioni sono sempre reali.
I quadrati delle due radici sono
$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} - (m-1))}^2 } { 4 } $
e
$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} + (m-1))}^2 } { 4 } $
svolgendo i conti (e semplificando i doppi prodotti con radice) si ottiene
$ \displaystyle \frac{(2m^2 + 4m + 26) + (2m^2 - 4m + 2)}{4} $
quindi la somma dei quadrati delle radici vale
$ m^2 + 7 $
che ovviamente è minima per
$ m=0 $
$ (m-1)^2 + 4(m+3) $
ovvero
$ m^2 + 2m + 13 $
che è maggiore di zero $ \forall \ m $
quindi le soluzioni sono sempre reali.
I quadrati delle due radici sono
$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} - (m-1))}^2 } { 4 } $
e
$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} + (m-1))}^2 } { 4 } $
svolgendo i conti (e semplificando i doppi prodotti con radice) si ottiene
$ \displaystyle \frac{(2m^2 + 4m + 26) + (2m^2 - 4m + 2)}{4} $
quindi la somma dei quadrati delle radici vale
$ m^2 + 7 $
che ovviamente è minima per
$ m=0 $
Ultima modifica di Haile il 01 giu 2008, 21:52, modificato 1 volta in totale.
Sì, sarò pignolo, ma non hai giustificato questa affermazione...Haile ha scritto: $ m^2 + 2m + 13 $
che è maggiore di zero $ \forall \ m $
Poi un consiglio riguardo alla seconda parte. Invece di fare tutti quei brutti conti considera che in una equazione di secondo grado $ $x^2+bx+c=0 $, $ $b=-s$ $ e $ $c=p$ $, dove $ $s$ $ è la somma e $ $p$ $ il prodotto delle soluzioni. Allora chiamando $ $x_1,x_2$ $ le soluzioni, hai che $ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ $, quindi...basta riscriverlo come (m+1)^2+12...
Ciao
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
1) mmm già. Oppure vedere che il delta è minore di zero e quindi il segno è sempre concorde a quello della x al quadratofede90 ha scritto:Sì, sarò pignolo, ma non hai giustificato questa affermazione...Haile ha scritto: $ m^2 + 2m + 13 $
che è maggiore di zero $ \forall \ m $
Poi un consiglio riguardo alla seconda parte. Invece di fare tutti quei brutti conti considera che in una equazione di secondo grado $ $x^2+bx+c=0 $, $ $b=-s$ $ e $ $c=p$ $, dove $ $s$ $ è la somma e $ $p$ $ il prodotto delle soluzioni. Allora chiamando $ $x_1,x_2$ $ le soluzioni, hai che $ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ $, quindi...basta riscriverlo come (m+1)^2+12...
Ciao
2) In effetti ho postato un po' in fretta e stavo appunto pensando a somma/prodotto soluzioni
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Oppure considerala una disequazione di secondo gradoHaile ha scritto:...
$ m^2 + 2m + 13 $
che è maggiore di zero $ \forall \ m $
quindi le soluzioni sono sempre reali.
...
$ m^2 + 2m + 13 >= 0 $
Ovviamente vera per ogni m
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
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Il fatto è che così dicendo non hai aggiunto molto alla vaghezza iniziale di Haile!... In fondo come la risolvi la disequazione? O guardi il delta (come ha poi aggiunto Haile stesso), o ti accorgi del quadrato (come ha fatto fede90)...
Ciao!
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