problema sns: primo=a differenza di quadrati

[matteo16]

oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p diverso da 2, può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.

l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.

io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):

considerando x,y interi

dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $

da cui

$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $

cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).

[Stex19]

oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.

l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.

io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):

considerando x,y interi

dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $

da cui

$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $

cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).

non pensoche sia giusta la strada, perche usando il modulo p trovi soluzioni per cui $ x^2-y^2=kp $, quindi non necessariamente con $ k=1 $, nel caso di $ p=3 $, $ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod 3) $ è vero anche per $ (5,4) $ o $ (8,7) $ per esempio...


edit: forse ho trovato... dobbiamo dimostrare che $ (x+y)(x-y)=p $, ma essendo p primo, i due coeficienti devo essere uguali, uno a 1 e l'altro a p.
quidni eseguiamo il sistema $ x+y=p $ e $ x-y=1 $ e troviamo
$ x=\frac{p+1}{2} $ e $ y=\frac{p-1}{2} $
che effettivamente, danno come differenza dei quadrati p
ma ogni primo p>2 è dispari, quindi esistono sempre $ x $ e$ y $ naturali che danno soluzione.

p.s. 2 è l'unico primo che non puo essere formato da differenza di quadrati... c'è da fare una correzioncina al testo...

[Alex89]

Oppure vi è la classica cosa:

(n+1)^2-n^2=2n+1

da cui ho che ogni intero dispari è differenza di due quadrati perfetti...

[matteo16]

oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.

l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.

io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):

considerando x,y interi

dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $

da cui

$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $

cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).

non pensoche sia giusta la strada, perche usando il modulo p trovi soluzioni per cui $ x^2-y^2=kp $, quindi non necessariamente con $ k=1 $, nel caso di $ p=3 $, $ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod 3) $ è vero anche per $ (5,4) $ o $ (8,7) $ per esempio...


edit: forse ho trovato... dobbiamo dimostrare che $ (x+y)(x-y)=p $, ma essendo p primo, i due coeficienti devo essere uguali, uno a 1 e l'altro a p.
quidni eseguiamo il sistema $ x+y=p $ e $ x-y=1 $ e troviamo
$ x=\frac{p+1}{2} $ e $ y=\frac{p-1}{2} $
che effettivamente, danno come differenza dei quadrati p
ma ogni primo p>2 è dispari, quindi esistono sempre $ x $ e$ y $ naturali che danno soluzione.

p.s. 2 è l'unico primo che non puo essere formato da differenza di quadrati... c'è da fare una correzioncina al testo...

giusto...bella dimostrazione non ci avevo pensato.
è anche semplice e lineare
questo mi insegna che non tutte le vie di dimostrazione sono sempre complicate e che spesso(parlo per me) si va a cercare dimostrazioni complesse e atruse quando in tre passaggi lineari come hai fatto si può dimostrare la tesi

[matteo16]

Oppure vi è la classica cosa:

(n+1)^2-n^2=2n+1

da cui ho che ogni intero dispari è differenza di due quadrati perfetti...

sì ma come si fa a sapere che un quadrato deve essere per forza$ (n+1)^2 $?

[julio14]

Lo decidi tu. Il problema chiede se esiste sempre una coppia di quadrati tali che la loro differenza sia un primo dato, tu prendi tutte le coppie di quadrati consecutivi, quindi hai tutti i dispari, e quindi anche tutti i primi tranne il 2.