Non che il problema sia semplice, anzi, ma non è neanche impossibile...
Due bambini stanno facendo una gara a chi riesce a centrare una scatoletta sul pavimento con una biglia sparata da una pistola a molla montata su un tavolo orizzontale. La bocca della canna è allineata col bordo del tavolo. Il bersaglio è piazzato a distanza $ D=2,20 m $ in orizzontale dal bordo del tavolo. Orazio comprime la molla di $ 1,10 cm $, ma il tiro risulta corto di $ 27,0 cm $. Di quanto deve comprimerla Giustina per fare centro? Ignorate gli attriti
Gioco da ragazzi
Sia $ \Delta x_1=1,10 cm $ e $ \Delta x_2 $ la compressione richiesta.
Voglio trovare la relazione tra la compressione e la distanza percorsa. Considero il tratto che va dal punto di equilibrio della molla al punto di compressione.
Ho che $ \displaystyle F\cdot \Delta x_1=\frac{1}{2}mv^2 $ essendo la velocità al momento del rilascio nulla e $ v $ la velocità al passaggio della biglia dal punto di equilibrio, che è anche il momento 0 del nostro moto parabolico per le ipotesi sulla posizione della canna rispetto al tavolo.
In questo modo ricavo $ \displaystyle v=\sqrt{ \frac{2F\cdot \Delta x_1}{m}} $.
La gittata è data da $ \Delta s_1=vt $
Considerando il sistema:
$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}-v_{iy}}{t}=g \\ \displaystyle mgh+\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}mv_f^2 \end{cases} $
Ma $ \displaystyle v_i^2=v_{ix}^2+v_{iy}^2 $ e $ \displaystyle v_f^2=v_{fx}^2+v_{fy}^2 $
Poichè il moto è rettilineo uniforme, sulla direzione dell'asse $ x $ si ha che $ \displaystyle v_{ix}=v_{fx} $. Inoltre, per le ipotesi iniziali $ v_{iy}=0 $.
Andando a sostituire nel sistema, e semplificando si ottiene:
$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}}{t}=g \\ \displaystyle gh=\frac{1}{2}v_{fy}^2 \end{cases} $
Risolvendo si ricava: $ \displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $ che non dipende in alcun modo dalla compressione iniziale.
Quindi gittata e velocità sono direttamente proporzionali.
Quindi $ \Delta s_1:v_1=\Delta s_2:v_2 \rightarrow \displaystyle \Delta s_2=\Delta s_1\cdot \frac{v_2}{v_1} $.
$ F=-k\Delta x $ dunque:
$ \displaystyle \frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{-2k(\Delta x_2)^2}{m}}\cdot \sqrt{\frac{m}{-2k(\Delta x_1)^2}}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} $
Allora $ \displaystyle \Delta x_2=\Delta s_2 \cdot \frac{\Delta x_1}{\Delta s_1} $.
$ \Delta x_1=1.10 cm, \ \Delta s_1=1.93 m, \ \Delta s_2=2.20 m $ danno $ \Delta x=1.25 cm $.
Bon, io ci ho provato. Per caso è anche giusto?
Voglio trovare la relazione tra la compressione e la distanza percorsa. Considero il tratto che va dal punto di equilibrio della molla al punto di compressione.
Ho che $ \displaystyle F\cdot \Delta x_1=\frac{1}{2}mv^2 $ essendo la velocità al momento del rilascio nulla e $ v $ la velocità al passaggio della biglia dal punto di equilibrio, che è anche il momento 0 del nostro moto parabolico per le ipotesi sulla posizione della canna rispetto al tavolo.
In questo modo ricavo $ \displaystyle v=\sqrt{ \frac{2F\cdot \Delta x_1}{m}} $.
La gittata è data da $ \Delta s_1=vt $
Considerando il sistema:
$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}-v_{iy}}{t}=g \\ \displaystyle mgh+\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}mv_f^2 \end{cases} $
Ma $ \displaystyle v_i^2=v_{ix}^2+v_{iy}^2 $ e $ \displaystyle v_f^2=v_{fx}^2+v_{fy}^2 $
Poichè il moto è rettilineo uniforme, sulla direzione dell'asse $ x $ si ha che $ \displaystyle v_{ix}=v_{fx} $. Inoltre, per le ipotesi iniziali $ v_{iy}=0 $.
Andando a sostituire nel sistema, e semplificando si ottiene:
$ \begin{cases} \displaystyle \frac{v_{fy}}{t}=g \\ \displaystyle gh=\frac{1}{2}v_{fy}^2 \end{cases} $
Risolvendo si ricava: $ \displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $ che non dipende in alcun modo dalla compressione iniziale.
Quindi gittata e velocità sono direttamente proporzionali.
Quindi $ \Delta s_1:v_1=\Delta s_2:v_2 \rightarrow \displaystyle \Delta s_2=\Delta s_1\cdot \frac{v_2}{v_1} $.
$ F=-k\Delta x $ dunque:
$ \displaystyle \frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{-2k(\Delta x_2)^2}{m}}\cdot \sqrt{\frac{m}{-2k(\Delta x_1)^2}}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} $
Allora $ \displaystyle \Delta x_2=\Delta s_2 \cdot \frac{\Delta x_1}{\Delta s_1} $.
$ \Delta x_1=1.10 cm, \ \Delta s_1=1.93 m, \ \Delta s_2=2.20 m $ danno $ \Delta x=1.25 cm $.
Bon, io ci ho provato. Per caso è anche giusto?
Allora io ho provato in questa direzione..
con la conservazione dell'energia si sa che:
$ \displaystyle \frac{1}{2} ks^2=\frac{1}{2} mv^2 $
da cui:
$ \displaystyle v= \sqrt \frac{k}{m} \cdot s $
dal moto della biglia si ricava che il tempo di caduta (dal tavolo a terra) è:
$ \displaystyle t= \sqrt \frac {2h}{g} $
quindi $ s_1 $ (distanza orizzontale dal tavolo) è:
$ \displaystyle s_1= v \cdot t--->s_1= \sqrt \frac {2hk}{mg} \cdot s $
dove $ s $ è la compressione...
quindi ho notato la diretta proporzionalità tra $ s_1 $ e $ s $
dove $ \displaystyle \sqrt \frac {2hk}{mg} $ è la costante di proporzionalità...
così la compressione del secondo bambino sarà i $ \frac {220}{193} $ di $ 1.10 cm $...cioè $ 1.25 cm $...
come sopra...l'avessi visto prima
Ps...scusate gli edit continui...brutto errore --> $ 220 - 27 = 197 $
con la conservazione dell'energia si sa che:
$ \displaystyle \frac{1}{2} ks^2=\frac{1}{2} mv^2 $
da cui:
$ \displaystyle v= \sqrt \frac{k}{m} \cdot s $
dal moto della biglia si ricava che il tempo di caduta (dal tavolo a terra) è:
$ \displaystyle t= \sqrt \frac {2h}{g} $
quindi $ s_1 $ (distanza orizzontale dal tavolo) è:
$ \displaystyle s_1= v \cdot t--->s_1= \sqrt \frac {2hk}{mg} \cdot s $
dove $ s $ è la compressione...
quindi ho notato la diretta proporzionalità tra $ s_1 $ e $ s $
dove $ \displaystyle \sqrt \frac {2hk}{mg} $ è la costante di proporzionalità...
così la compressione del secondo bambino sarà i $ \frac {220}{193} $ di $ 1.10 cm $...cioè $ 1.25 cm $...
come sopra...l'avessi visto prima
Ps...scusate gli edit continui...brutto errore --> $ 220 - 27 = 197 $
Ultima modifica di Agostino il 13 lug 2008, 18:36, modificato 2 volte in totale.