M-Disuguaglianza @ SNS - 2002-2003

[EUCLA]

Determinare la più grande costante $ M $ tale che

$ (a+b+c+d)^2\ge M(ab+bc+cd) $

qualunque siano $ a,b,c,d \in \mathbb{R} $ e $ a,b,c,d\ge 0 $

Per tale valore di $ M $ determinare per quali numeri $ a,b,c,d $ si ottiene un'uguaglianza.

[exodd]

scegli intanto il dominio di M

[EUCLA]

Io ho riportato il testo, quindi se hai una dimostrazione che crea problemi di dominio vedremo dopo

[julio14]

è un po' difficile parlare di disuguaglianze nei complessi senza tirare in ballo norme et similia, e raramente ho visto una disuguaglianza su interi o razionali.

p.s.

[matteo16]

è un po' difficile parlare di disuguaglianze nei complessi senza tirare in ballo norme et similia, e raramente ho visto una disuguaglianza su interi o razionali.

p.s.

anche perchè il campo complesso non gode di relazione d'ordine
e la norma di un numero complesso è ancora un numero reale

[EUCLA]

Calmi, prima di farsi seghe mentali su come deve essere sto $ M $ diciamo pure che sta in $ \mathbb{R} $. Ora va bene? Si, va bene e risolvete il problema, su.

[matteo16]

Calmi, prima di farsi seghe mentali su come deve essere sto $ M $ diciamo pure che sta in $ \mathbb{R} $. Ora va bene? Si, va bene e risolvete il problema, su.

sì ma era quello che sostenevamo non ci facevamo mica seghe mentali.

per la risoluzione...mi verrebbe da dire che c'entra qualcosa con il riarrangiamento, però non ho studiato bene l'argomento quindi non posso esserne sicuro e risolvere il problema ragionando proprio su quello. quindi dovrò cercare un'altra strada

[Ani-sama]

È uscito anche qui. E questa sarebbe la mia soluzione.

EDIT
Metto la soluzione anche qui per esteso. Le lettere a,b,c,d sono sostituite da x,y,z,q, me la perdonerete spero.

Io direi $ m=4 $.

Ponendo $ m=4 $, la disuguaglianza è vera. Volendo verificarla, essa (dopo qualche calcolo) si riscrive come:

$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq \geq 0 $

Ma per ipotesi quei numeri sono positivi, allora:

$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq $ $ = x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz +(- 2xq +4xq) -2yz + 2yq -2zq $ $ = {(x-y+z-q)}^2 + 4xq \geq 0 $. Ok dunque.

Per vedere che $ 4 $ è effettivamente la "migliore", basta mostrare che, se $ m > 4 $, allora esistono $ x,y,z,q \geq 0 $ tali che la disuguaglianza non è verificata, cioè è verificata la disuguaglianza opposta. Ma basta scegliere $ x=y=1, z=q=0 $; in tal caso:

$ {(x+y+z+q)}^2 = 4 < m = m(xy+yz+zq) $, come volevamo.

Si capisce poi senza troppi patemi che l'uguaglianza si ha se e solo se $ x=y, z=q=0 $, essendo quei numeri tutti non negativi.

[flexwifi]

In realta' era uscito anche qui

Bye

[mitchan88]

L'anno scorso al test della galileiana c'era da dimostrare più in generale che
$ \displaystyle (\sum_{i=1}^n x_i)^2\geq 4\sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} $
per ogni $ n\in \mathbb{N}, x_1,\dots x_n \geq 0 $

[EUCLA]

Uh, risolviamola vai

Direi innanzitutto che $ n>1 $ perchè $ n=1, x=1 $ contraddicono la tesi.

$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\bigg)^2\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $

Per AM-QM:

$ \displaystyle \frac{(x_1+x_2)+(x_3+x_4)+\cdots +(x_{n-1}+x_n)}{\frac{n}{2}}\ge $ $ \displaystyle \sqrt{\frac{(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2}{\frac{n}{2}} $

Dunque, riprendendo la disuguaglianza iniziale: $ LHS\ge \displaystyle \frac{n}{2}\cdot \big[(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2\big] $

Rimane $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \stackrel{\big{?}}{\ge} 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $

che è vera perchè si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \ge \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} \ \ (*) $

cioè $ \displaystyle \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-1}(x_i-x_{i+1})^2\ge 0 $

e ritornando alla $ (*) $, per $ n>1 $ si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $.

[Jacobi]

come mai hai supposto ke n sia pari?

[EUCLA]

Eh già bella domanda

Non l'ho supposto, l'ho proprio dato per certo

edit: è del tutto sbagliata poi, l'errore più grave è anche aver frainteso il RHS

[Ani-sama]

Alla fine mi sembra che possa funzionare il metodo usato per la "versione base". Per esempio, valutando $ {\left[x_1-x_2+\cdots +{(-1)}^{n+1} x_n\right]}^2 $...