M-Disuguaglianza @ SNS - 2002-2003
M-Disuguaglianza @ SNS - 2002-2003
Determinare la più grande costante $ M $ tale che
$ (a+b+c+d)^2\ge M(ab+bc+cd) $
qualunque siano $ a,b,c,d \in \mathbb{R} $ e $ a,b,c,d\ge 0 $
Per tale valore di $ M $ determinare per quali numeri $ a,b,c,d $ si ottiene un'uguaglianza.
$ (a+b+c+d)^2\ge M(ab+bc+cd) $
qualunque siano $ a,b,c,d \in \mathbb{R} $ e $ a,b,c,d\ge 0 $
Per tale valore di $ M $ determinare per quali numeri $ a,b,c,d $ si ottiene un'uguaglianza.
- exodd
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scegli intanto il dominio di M
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
anche perchè il campo complesso non gode di relazione d'ordinejulio14 ha scritto:è un po' difficile parlare di disuguaglianze nei complessi senza tirare in ballo norme et similia, e raramente ho visto una disuguaglianza su interi o razionali.
p.s.
e la norma di un numero complesso è ancora un numero reale
sì ma era quello che sostenevamo non ci facevamo mica seghe mentali.EUCLA ha scritto:Calmi, prima di farsi seghe mentali su come deve essere sto $ M $ diciamo pure che sta in $ \mathbb{R} $. Ora va bene? Si, va bene e risolvete il problema, su.
per la risoluzione...mi verrebbe da dire che c'entra qualcosa con il riarrangiamento, però non ho studiato bene l'argomento quindi non posso esserne sicuro e risolvere il problema ragionando proprio su quello. quindi dovrò cercare un'altra strada
È uscito anche qui. E questa sarebbe la mia soluzione.
EDIT
Metto la soluzione anche qui per esteso. Le lettere a,b,c,d sono sostituite da x,y,z,q, me la perdonerete spero.
Io direi $ m=4 $.
Ponendo $ m=4 $, la disuguaglianza è vera. Volendo verificarla, essa (dopo qualche calcolo) si riscrive come:
$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq \geq 0 $
Ma per ipotesi quei numeri sono positivi, allora:
$ x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz + 2xq -2yz + 2yq -2zq $ $ = x^2+y^2+z^2+q^2 -2xy + 2xz +(- 2xq +4xq) -2yz + 2yq -2zq $ $ = {(x-y+z-q)}^2 + 4xq \geq 0 $. Ok dunque.
Per vedere che $ 4 $ è effettivamente la "migliore", basta mostrare che, se $ m > 4 $, allora esistono $ x,y,z,q \geq 0 $ tali che la disuguaglianza non è verificata, cioè è verificata la disuguaglianza opposta. Ma basta scegliere $ x=y=1, z=q=0 $; in tal caso:
$ {(x+y+z+q)}^2 = 4 < m = m(xy+yz+zq) $, come volevamo.
Si capisce poi senza troppi patemi che l'uguaglianza si ha se e solo se $ x=y, z=q=0 $, essendo quei numeri tutti non negativi.
Ultima modifica di Ani-sama il 22 lug 2008, 11:32, modificato 1 volta in totale.
...
Uh, risolviamola vai
Direi innanzitutto che $ n>1 $ perchè $ n=1, x=1 $ contraddicono la tesi.
$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\bigg)^2\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $
Per AM-QM:
$ \displaystyle \frac{(x_1+x_2)+(x_3+x_4)+\cdots +(x_{n-1}+x_n)}{\frac{n}{2}}\ge $ $ \displaystyle \sqrt{\frac{(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2}{\frac{n}{2}} $
Dunque, riprendendo la disuguaglianza iniziale: $ LHS\ge \displaystyle \frac{n}{2}\cdot \big[(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2\big] $
Rimane $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \stackrel{\big{?}}{\ge} 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $
che è vera perchè si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \ge \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} \ \ (*) $
cioè $ \displaystyle \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-1}(x_i-x_{i+1})^2\ge 0 $
e ritornando alla $ (*) $, per $ n>1 $ si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $.
Direi innanzitutto che $ n>1 $ perchè $ n=1, x=1 $ contraddicono la tesi.
$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^{n}{x_i}\bigg)^2\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $
Per AM-QM:
$ \displaystyle \frac{(x_1+x_2)+(x_3+x_4)+\cdots +(x_{n-1}+x_n)}{\frac{n}{2}}\ge $ $ \displaystyle \sqrt{\frac{(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2}{\frac{n}{2}} $
Dunque, riprendendo la disuguaglianza iniziale: $ LHS\ge \displaystyle \frac{n}{2}\cdot \big[(x_1+x_2)^2+(x_3+x_4)^2+\cdots +(x_{n-1}+x_n)^2\big] $
Rimane $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \stackrel{\big{?}}{\ge} 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $
che è vera perchè si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\sum_{i=1}^{n-1}(x_i+x_{i+1})^2 \ge \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} \ \ (*) $
cioè $ \displaystyle \frac{n}{2} \sum_{i=1}^{n-1}(x_i-x_{i+1})^2\ge 0 $
e ritornando alla $ (*) $, per $ n>1 $ si ha $ \displaystyle \frac{n}{2}\cdot 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}\ge 4\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1} $.
Per quella generalizzazione
Alla fine mi sembra che possa funzionare il metodo usato per la "versione base". Per esempio, valutando $ {\left[x_1-x_2+\cdots +{(-1)}^{n+1} x_n\right]}^2 $...
...