SNS 1980 (vecchio ma istruttivo)

[Algebert]

Si consideri un sistema di $ $n$ $ palline sospese in quiete con i baricentri lungo una linea orizzontale 1 e a una distanza l'una dall'altra piccola rispetto alla lunghezza dei fili di sospensione.
La prima pallina abbia massa $ $am$ $ (con $ $a$ $ costante numerica positiva non nulla), la seconda $ $a^2m$ $ e così via fino all'n-esima con massa $ $a^nm$ $. Una pallina proiettile di massa $ $m$ $ e velocità $ $v$ $ urta, muovendosi lungo 1, la prima pallina sospesa provocando una serie di urti successivi.
Supponendo che le collisioni siano tutte perfettamente elastiche, calcolare in funzione di $ $a$ $ e di $ $n$ $ la velocità e l'energia cinetica dell'ultima pallina (l'n-esima). Si confronti poi il risultato con il caso di urto diretto proiettile - ultima pallina esaminando in particolare il caso in cui $ $a$ $ è uguale a 1.

Che dire, molto carino e istruttivo (almeno secondo me). E neanche troppo complicato .

Ciao a tutti e buon lavoro
Alessio

P.S: per favore i possessori del libro "Problemi di Fisica della Scuola Normale" si astengano almeno per un po' !

[Algebert]

Nessuno che voglia cimentarsi? Suvvia, non è poi così difficile !

[EUCLA]

O forse ci sono abbastanza possessori del libro

[Desh]

O forse ci sono abbastanza possessori del libro

esatto, sei tu che ci hai chiesto di astenerci

[g(n)]

Allora ci provo io che il libro non ce l'ho ma mi farebbe bene averlo...

Siano $ v_i $ e $ v_i' $ le velocità della $ i $-esima pallina rispettivamente dopo l'urto con la precedente e dopo l'urto con la seguente. (Si consideri $ v_0=v $)

Per la conservazione della quantità di moto si ha

$ a^kmv_k=a^kmv_k'+a^{k+1}mv_{k+1} $

La condizione di conservazione dell'energia può essere sostituita dalla condizione che le velocità relative di avvicinamento e allontanamento siano uguali e di segno opposto:

$ (v_k-0)=-(v_k'-v_{k+1}) $
e mettendo a sistema si ottiene la relazione
$ \displaystyle v_{k+1}=v_k\frac{2}{1+a} $
da cui
$ \displaystyle v_n=v\left(\frac{2}{1+a}\right)^n $

Se l'urto avvenisse direttamente con l'ultima si otterrebbe lo stesso tipo di sistema, da cui

$ \displaystyle v_n=v\frac{2}{1+a^n} $

Per a=1 si ottiene la stessa velocità finale nei due casi ed è come se le palline intermedie non ci fossero.

Se si fa il rapporto tra le velocità finali nei due casi si ottiene

$ \displaystyle\frac{1+a^n}{(1+a)^n}2^{n-1} $
che dovrebbe essere maggiore di 1 (ma non sono sicuro)

Mi potete dire se è giusto? Se manca qualche conclusione è perchè devo andare a mangiare

[Algebert]

O forse ci sono abbastanza possessori del libro

esatto, sei tu che ci hai chiesto di astenerci

Beh ma non credevo ce ne fossero così tanti !


@ g(n):
quello che hai fatto è tutto giusto ! E ti confermo anche che l'ultimo rapporto, come dici tu stesso, è maggiore o uguale a 1. Il libro si dilunga poi in utili ma superflue (almeno, per uno che fa il test) considerazioni sui risultati ottenuti; credo che quello che hai scritto possa bastare .